第四章 导数专练12—构造函数证明不等式（2）-2022届高三数学一轮复习

第四章 导数专练12—构造函数证明不等式（2）

1．已知函数在，上单调递减．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）当实数取最大值时，方程恰有二解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，，求证：．（注为自然对数的底数）

解：（Ⅰ）在，上单调递减，

在，上恒成立，

在，上恒成立，

在，上恒成立，

，

实数的取值范围为，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，定义域为，

方程恰有二解方程恰有二解

方程恰有二解方程恰有二解，

令，，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

，

又当时，；当时，，

实数的取值范围为：．

（Ⅲ）令，

则，

由，易得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

（1），即：，

，，

，，

，

，

，当且仅当时等号成立．

2．已知函数．

（1）若存在极值，求的取值范围；

（2）当时，求证：．

解：（1）函数的定义域是，

，当时，对任意，，

故函数在上单调递增，无极值，

当时，当时，，单调递增，

当，时，，单调递减，

故在处取得极大值，无极小值，

综上：若存在极值，

则的取值范围是；

（2）当时，，

设，定义域是，

只需证明即可，

，设，

则，

故函数在上单调递增，

，（1），

有唯一的实根，且，

，

当时，，当时，，

故函数的最小值是，

，

．

3．设，，已知函数在点，处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：当时，．

解：（Ⅰ）的导数为，

可得，

由切线方程为，可得，可得，

由，可得，

所以，；

（Ⅱ）证明：，

即证当时，．

先证：．

因为，即，得证．

再证：，

因为，

令，则，

当时，，递增，所以，得证．

由．即有，

可得时，，

所以当时，；

当时，．

综上可得，原不等式得证．

4．已知函数，，且曲线在处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：．

解：（Ⅰ）由已知得，，

，

，解得：．

（Ⅱ）证明：设，则，

由得；由得，

在上单调递减，在上单调递增，

在处取得最小值为，

当时，，，，

要证，则在上恒成立，

只需使在上恒成立，

即在上恒成立，

设，则，

由得，由得，

在上单调递减，在上单调递增，

在处取得极小值也是最小值，为（1），

即在上恒成立，

原不等式成立．

5．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若，求实数的取值范围．

（1），函数的定义域为，

①当时，，在上单调递增，没有减区间；

②当时，令，得，此时函数的增区间为，减区间为；

（2），可化为，

若，取，，不合题意，故必为正数，

不等式，化为，

令，有，

由函数的定义域为，令有，

可得函数的减区间为，增区间为，

若，必有（a），得，

①当时，，可得；

②当时，令，有，可得函数单调递增，又由（e），可得，

由上知．

6．已知函数．

（1）当时，函数的单调区间；

（2）当时，证明：在上恒成立；

（3）证明：当时，．

解：（1）时，，，

，

令，解得：，

时，，递增，

，时，，递减，

，时，，递增；

即在递增，在，递减，在，递增；

（2）时，，，

，

故在递增，则（1），

时，在上恒成立；

（3）证明：由（2）可知在恒成立，

所以在恒成立，

下面证，即证2 ，

设，，

设，，

易知在恒成立，

所以在单调递增，

所以，

所以在单调递增，

所以，

所以，即当时，．

7．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：．

解：（1），

令，解得：，令，解得：或，

故在递增，在递减，在递增；

（2）证明：，

设函数，则，

令，解得：，令，解得：，

故，则当时，，

设函数，则，

故在，上单调递减，

则（1），即，

故，即，

，

，

又，．

8．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：．

解：（1）的定义域是，

，

①当，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

②当，令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在递减，在递增，

③当时，令恒成立，

故在递增，无递减区间，

④当，令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在递减，在递增，

综上：当，在递减，在递增，

当，在递增，在递减，在递增，

当时，故在递增，无递减区间，

当，在递增，在递减，在递增；

（2）证明：令，则，

，在上单调递增，

（e），，

设，，则，递增，

，即，

，使得，即，

且当时，，，时，，

在递减，在，递增，

，

设，，

则，

在上单调递减，

，原命题成立．