第四章 导数专练14—与三角函数相结合的问题（2）-2022届高三数学一轮复习

第四章  导数专练14—与三角函数相结合的问题（2）

1．已知函数，．

（1）求函数的最小值；

（2）若关于的不等式在，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1），．

令，则．

在上恒成立，在上单调递增．

又，当时，；当时，．

即，当时，；当时，，

在，上单调递减，在，上单调递增，

因此，的最小值为；

（2）不等式，即，

等价于．

设，则由题意得在，内恒成立．

，．

①当时，，这时，使当时，，

从而在，上单调递减，

又，当时，，这与在，内恒成立不符．

②当时，对于任意的，，从而，这时．

设，则，

设，则．

当时，，在，上单调递增．

又，当时，，即．

因此，，在，上单调递增．

又，当时，，从而．

综上，实数的取值范围为，．

2．已知函数，．

（1）若，求曲线在点，处的切线方程；

（2）设，若，求的取值范围．

解：（1）时，，则，，

又，故切点为，

故曲线在点，处的切线方程为：；

（2），定义域是，

令（a），求导（a），

故（a）在上单调递增，且（1），

故，则当时，恒成立，

即（a）（1），故，，

时，令，则，

故在上单调递增，且，，

故存在，，使得，即，，

当时，，在上单调递减，

当，时，，在，上单调递增，

故

，

综上，所求的取值范围是，．

3．已知函数．

（1）若在，上为增函数，求实数的取值范围；

（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间，上的最小值．

解：（1）因为函数在，上是增函数，所以当，时，恒有，

，故有，

此时令，则有，

即得在，上单调递减，故有，

因此可得，．

（2）根据题意，，则有，

存在两条互相垂直的切线，假设切点横坐标分别为，，

则有，化简可知，，

，

，

令，则有，

，

恒成立，即得在上单调递减，

又，

在上恒成立，即得在上单调递减，

，即函数的最小值为．

4．函数，．

（1）当时，函数在有极值点，求实数的取值范围；

（2）对任意实数，，都有成立，求实数的取值范围．

解：（1），

，

，

，，，又，则，

故在递减，，，

故，即的取值范围是；

（2），

，，故，

当，时，，

，故在，上递增，

，，

①当即时，存在，使得递减，

又，当时，与矛盾；

②，即时，

，

又，，，

则，，而时，故，

故函数在区间，递增，又，故，

综上：的取值范围是，．

5．已知函数的导函数为，其中为自然对数的底数．

（1）若，使得，求实数的取值范围；

（2）当时，，，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）由，可得，

因为，使得，

所以，使得，

则有，

所以，

所以实数的取值范围为；

（2）当时，，，恒成立，

所以对，恒成立，

即对，恒成立，

令，，，

由，可得，

又，所以，

记，，，，

则，在，上恒成立，

所以，在，上均单调递增，

所以，，

所以，，，，

当时，，

所以在区间，上单调递增，

故，

当时，，

记，，，

则在上单调递增，

故，，

由零点存在性定理可知，存在，使得，

所以当时，

故在区间上单调递减，即，，

所以在区间上单调递减，从而，不符合题意．

综上所述，，

故实数的取值范围为，．

6．已知函数，．

（1）设函数，当，时，求函数零点的个数；

（2）求证：．

解：（1）由题意得：，

，，

①当，时，，，，故，

在，上单调递增；

②当，时，，，，

，在，上单调递增，

又，，

且的图像在．内连续不断，

存在，使得，

且当，时，，当，时，，

在，内单调递减，在，内单调递增，

综合①②可知：在，内单调递减，在，内单调递增，

又，，，

且的图像在，内连续不断，

存在，存在，，使得，

函数在，内的零点个数是2；

（2）证明：要证，

即证：，

设，则，

在单调递减，，，

故要证成立，只需证明，

设，则，

又设，，在上单调递减，

又，（1），

存在，使得，即，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故，

故原命题成立．

7．已知函数，．

（1）若在上有极值点，求的取值范围；

（2）若，时，，求的最大值．

解：（1），

依题意，有变号零点，令，则，

所以在有实根，注意到△，

所以（1），解得，即．

（2），，

当时，，，所以成立；

当时，，所以．

记，

则恒成立，，，在单调递增，，

若，则，记，则，

所以存在，使得，当时，，单调递减，

所以时，，不符题意，

当时，，即时，单调递增，

所以，，符合题意，

当时，，

由，，所以，

而时，，所以成立，

综上所述，的最大值为3．

8．已知函数．

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）求函数在，的最小值．

解：（1）当时，，，

又得切点，，

所以切线方程为，即；

（2）法一：，，，，

令，，

由，得，所以在上为单调增函数，

又，

所以在上恒成立，

即，

当时，，知在上为减函数，从而，

当时，，知在上为增函数，从而；

综上，当时；当时．

法二：，，，，

由，得，，，

当时，知在上为减函数，从而，

当时，知在上为增函数，从而，

综上，当时；

当时．

9．已知函数，．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，，求证：．

解：（1）当时，，导数为，

可得切线的斜率为，且，

所以切线的方程为，

即为；

（2）证明：由题意可得，

若，则，所以在递增，

因此不存在，使得，所以；

设，，则，

令，，

所以在递减，又，所以在恒成立，

从而在递减，从而．①

又由，可得，

所以．②

由①②可得．

又因为，所以，

因此要证，

只需证明，

即证，③

设，，则，

所以在上为增函数，

又因为，所以（1），即③式成立．

所以获证．