第四章 导数专练15—证明数列不等式-2022届高三数学一轮复习

第四章 导数专练15—证明数列不等式

1．已知函数，曲线在处的切线方程为．

（1）求证：当时，；

（2）求证：．

证明：（1）函数，（1）．

，（1），

曲线在处的切线方程为：，

．

（1）令，．

则，

，

函数在单调递增，

（1），

函数在单调递增，

（1）．

当时，．

（2）由（1）可得：，

令，则化为：，

，，，，，

，，．

2．已知函数．

（1）若在区间，上单调递增，求实数的取值范围；

（2）求证：且．

解：（1）依题意，在，上恒成立，即在，上恒成立，

，即实数的取值范围为，；

（2）证明：当时，，在区间上单调递增，

，即，

令得，，

，

且，即得证．

3．已知函数．

（1）若，且，求的值；

（2）证明：．

（1）解：由题意知，，

当时，，所以在上递减，又（1），所以不符合题意；

当时，令，所以在上递减，上递增，

所以，令（a），

则，

当时，（a），所以（a）递增；

当时，（a），所以（a）递减，

所以（a）（1），而，

所以．

（2）证明：方法一：由（1）知，当时，，

所以，

令，则，

所以，

所以，，，，

累加得，

所以，．

方法二：由（1）知，当时，，

所以，

令，则，即，

所以，，，，

累加得，又，所以，

所以，．

4．已知函数的图象在处的切线斜率为．

（Ⅰ）求证：时，；

（Ⅱ）求证：．

证明：（Ⅰ）由，得，

由题意，，得，

故，，

令，可得在上单调递增，

，即，

在上单调递减，则，

则时，；

（Ⅱ）当，时，，

，，

则，

由（1）知，时，，

令，，3，，，

，

，，，，

相加得：．

5．已知关于的函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：当时，．

解：（Ⅰ）由得，

知当时，，故在上单调递减，

当时，，

故当时，，在，递增，

当时，，在递减，

综上：时，在上单调递减，

当时，在递减，在，递增；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知时，在递减，在，递增，

，即有，

，，

，，，

上列各式累加得：，

故．

6．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意，都有．

（1）解：函数，定义域为，

，

①当，即时，对恒成立，

所以在上单调递增；

②若，即时，方程的两个根为，

当时，，当时，，当时，，

所以在和，上单调递增，在，上单调递减，

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在和，上单调递增，在，上单调递减；

（2）证明：当时，，

由（1）可知，在上单调递增，即对任意的，都有，

故，整理可得，

令，2，3，，，则，

迭加可得，，

下面证明：对任意的，，

令函数，

则，，

当时，，则函数在区间上单调递减，

所以（1），

故函数在区间上单调递减，

所以（1），故对于，则有，

令，

则有，

所以，

故对任意，都有．

7．已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

解：（1）的定义域是，，

时，，时，，

故在递增，在递减，

即时，取最大值（1），

若，则，，

即的取值范围是，；

（2）证明：由（1）知，，，，

故，

，

令，则，

由（1）可知，，当且仅当时“”成立，

故，当且仅当时“”成立，

故，即单调递增，

故当时，（1），

当时，（1），

故，，

故．

8．已知函数，．

（1）若在，单调递增，求的取值范围；

（2）若，求证：．

解：（1）在，上单调递增，

当，时，恒成立，

即恒成立．

令，

则，

在区间，上单调递增，

（1），

，即的取值范围为，；

（2）证明：由（1）知，当，时，在，上单调递增，

不妨令，则在，上单调递增，

（1），

在，上恒成立．

令，则有，

，

（证毕）．

9．已知对任意，恒成立．

（1）求的范围；

（2）证明：．（参考数据：，，，，

解：（1），

令，

当时，即恒成立，故在单调递增，又，故恒成立．

当时，由，设且，则时，即，

因此在上单调递减，又，故时，，不符合题意．

综上，的取值范围为，．

（2）证明：由（1）知，取，当时，，

故对，，即，

所以，

所以．