大题专练训练19：圆锥曲线（椭圆：最值范围问题1）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练19：圆锥曲线（椭圆：最值范围问题1）-2022届高三数学二轮复习，共10页。试卷主要包含了已知椭圆的离心率为，且过点等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练19—圆锥曲线（椭圆：最值范围问题1）1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设，，，是椭圆上互异的四点（点在第一象限），其中，关于原点对称，，关于轴对称，且，求四边形面积的最大值．解：（1）由已知条件可得，解得，，，所以椭圆的方程为．（2）设，，，则点，，，，，，直线的斜率为，因为，则直线的方程为，联立，得，由韦达定理可得，因为，所以四边形的面积为，所以令，，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，所以，所以四边形的面积的最大值为．2．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，为上一点，△面积的最大值为．（1）求的标准方程；（2）已知点，为坐标原点，不与轴垂直的直线与交于，两点，且．试问：△的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．解：（1）设椭圆的半焦距为，由题，△面积最大值为，则，解得所以椭圆方程为．（2）设直线的方程为，，，，，将代入，得，△，由△得，，，由，得，即，，整理得，即，所以，，所以直线经过，且△恒成立，，令，则，所以，当且仅当时取等号，即，时，△的面积取最大值为6．3．已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点，点的轨迹为曲线．曲线与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，作交于点．（1）求曲线的方程；（2）求的取值范围．解：（1）由圆，可得圆心，半径，因为，所以点在圆内，又由点在线段的垂直平分线上，所以，所以，由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，，所以曲线的方程为．（2）当直线的斜率不存在时：设的方程为：，则易得，即，点的坐标为：；当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，，，联立，可得．由△得，且，，又因为，所以，即，即，代入解得，，综上：点的轨迹方程为．记线段的中点为，，直线与圆相切，则，，，的取值范围为．4．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）已知点到原点的距离为，过点的直线，与椭圆均仅有一个公共点，分别记为，，求面积的最大值．解：（1）依题意，得，解得，，故椭圆的方程为．（2）设点，，，，点，在圆上运动，设直线，的斜率分别为，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消去得，则，令△，整理得，，又，所以，．代入上式得，即，所以，故直线的方程为，化简可得，，经检验，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或也满足；同理，直线的方程为；因为，在直线、上，故，，故直线的方程为；当，直线的方程为或，代入椭圆方程解得，此时三角形面积，当，联立，消去，得，故，，故；又点到直线的距离，故，令，，，则，当且仅当时等号成立．则的面积的最大值为1．5．如图，已知椭圆的离心率为，点，，分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与圆相切，若直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．解：（1）根据题意可得解得，，所以椭圆的方程为．（2）圆的圆心为坐标系原点，半径，由直线与圆相切，得，即③，由，得，设，，，，则，④，所以，所以令，则，，所以，，所以方，则，解得时，取得最大值为1．6．已知椭圆的离心率是，两条准线间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆的长轴上（不包含端点）的动点，过作互相垂直的两条直线分别交椭圆于、和、，求四边形的面积的最大值．解：（1）由题意知，解得，，所以椭圆的方程为．（2）当斜率不存在或斜率为0时，此时，一个长度为，一个长度为，此时，当的斜率存在且不为0时，设直线方程为，不妨设，联立，得，所以△，所以，同理可得，所以，令，，所以，综上，四边形面积的最大值为．