大题专练训练20：圆锥曲线（椭圆：最值范围问题2）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练20：圆锥曲线（椭圆：最值范围问题2）-2022届高三数学二轮复习，共10页。
二轮大题专练20—圆锥曲线（椭圆：最值范围问题2）1．已知椭圆的一个焦点为，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，求面积的最大值．解：（1）由题意可得，解得：，，故椭圆的方程．（3分）（2）由题意可得直线，斜率均存在，设的斜率为，斜率为，设，，，，直线的方程为，由得：，则，可得点的横坐标为，代入，得点的纵坐标为，故点坐标为，（6分）则，将换为，得，（8分）故面积，（10分）令，，故，，当时，，故在，单调递减，故，，所以面积的最大值．（12分）2．已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，为椭圆上两点，是以为斜边的直角三角形为坐标原点），求的最大值．解：（1）由题意，可知，即，所以，把点的坐标代入椭圆方程得，所以，，所以椭圆方程为．（2）当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性可知，不妨设点在第一象限，则直线的方程为．与椭圆联立，得，所以，从而，当直线斜率存在时，可设直线方程为，与椭圆联立，得，设，，，，则，是以为斜边的直角三角形，，即，，所以，即，，，（当且仅当时取等号），，综上，的最大值为3．3．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于，两点．①求证：；②求的最大值．解：（1）由题设得，化简得（3分）（2）设直线的方程为，，，，，由，△，（4分），，，（7分）②法1：直线的方程为，所以点的纵坐标，所以，同理可得分，（9分）令所以，（10分）由双勾函数单调性可知，当时，有最大值（12分）法2：接第二问，由等面积法得：，（10分）令，所以，由双勾函数单调性可知，时，有最大值（12分）4．已知，分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，直线与的斜率之积为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右焦点分别为，，点，为椭圆上位于轴上方的两点，且，求四边形面积的取值范围．解：（1）由已知可得：，，，即可得，解得，所以椭圆的方程为．（4分）（2）由（1）知：，，设直线，，，延长交椭圆于另一点，，由，得，△，则得，（7分）由点与关于原点对称知，因为（当时，等号成立）．所以．所以．即．（12分） 5．已知椭圆的长轴长为4，椭圆的右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）若在椭圆上且在第一象限，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线，分别交轴，轴于点，．①求证：为定值；②求面积的最小值．解：（1）根据题意可得，解得，，，所以椭圆的方程为．（2）①证明：由（1）可得，，设，，则直线的方程为，令，得，即点坐标为，直线的方程为，令，得，即点坐标为，，所以，，所以因为点在椭圆上，所以，即，所以．②，（当且仅当时取等号），面积的最小值为．6．在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，为椭圆的上顶点．过原点的直线与圆交于点，两点，且点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．（1）若，求直线的斜率；（2）设与的面积分别为，，求的最大值．解：（1）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去可得，，所以得到，联立直线与圆方程，消去可得，，所以，由得，，故，解得，因为，所以．（2）由与关于原点对称，可得点坐标，所以，，，所以，同理可得，，则有，当且仅当，即时取得等号，所以的最大值为．