大题专练训练22：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题2）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练22：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题2）-2022届高三数学二轮复习，共13页。试卷主要包含了已知为椭圆上的一点，焦距长为2，已知椭圆的左顶点为，点在椭圆上等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练22—圆锥曲线（椭圆：定值定点问题2）1．已知椭圆的离心率为，右焦点到左顶点的距离是．（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．解：（1）由已知可得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）因为椭圆的方程为，所以，，设，，，则，即，则直线的方程为，令，得，同理可得直线的方程为，令，得，所以，所以四边形的面积为定值2．2．如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点在的上方），．（1）求椭圆的方程；（2）设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．解：（1）根据题意可得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）依据题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，，，代入椭圆的方程得：，所以，，由，得，因为，所以，所以，所以，整理得，所以或，当时，直线过定点，不合题意，所以，，所以直线的斜率是定值．3．在圆内有一点，动点为圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于不同两点，，轨迹上存在点，使得以，为邻边的四边形为平行四边形为坐标原点）．求证：的面积为定值．（1）解：根据题意可得，，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，，故，，所以，故椭圆的标准方程为；（2）证明：由，消去可得，，设，，，，则，所以，因为四边形为平行四边形，所以，故点的坐标为，因为点在椭圆上，所以，整理可得，因为直线与椭圆交于不同的两点，，所以△，所以，因为，由点到直线的距离为，所以，故的面积为定值，且定值为．4．已知椭圆，，，，是椭圆上的两个不同的点．（1）若点满足，求直线的方程；（2）若，，，的坐标满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（3）若，在直线上，是否存在与无关的定点，，使得直线，的斜率之和为一个定值？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知可得，是线段中点，所以，由已知，，两式相减化简整理得，所以，直线的方程是．（2）设，，，，，，由，可得，由②，结合①②可得，，又，是椭圆上的点，故，所以，即．根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆．（3）假设存在定点，满足题意，联立方程组消去得，，所以△，即且，所以，要使为与无关的常数，只能，解之得或．此时为与无关的常数，综上所述，存在定点或，使得直线，的斜率之和为一个定值0．5．已知为椭圆上的一点，焦距长为2．、为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为，，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）探究直线是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（1）由题意知，，，且，所以，所以椭圆的方程为．（2）①当直线斜率不存在时，设为，设点坐标为，，点坐标为，，由于，，，所以，所以，所以直线斜率不存在，不符合题意．，②当直线斜率存在时，设方程为，点的坐标为，，点坐标为，，联立，得，△，，，因为，，，所以，所以，所以，所以，由题意得直线，不经过点，即，．故有，化简得，所以直线为，所以，显然当时，上式成立，直线过定点，综上，直线过定点．6．已知椭圆经过点，，为的左、右顶点，且直线，的斜率之积为．（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，当为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．解：（1）依题意知，经过点，则，因为，所以，所以的方程为．（2）设，，，，则，，联立得，所以△，即，所以，，所以，所以，则时，对任意都有为定值，此时，点到的距离，所以，当且仅当，即时，取等号，所以面积的最大值为1．7．已知椭圆的左顶点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过橢圆的右焦点作斜率为的直线，交椭圆于，两点，直线，分别与直线交于点，，则是否为定值？请说明理由．解：（1），点在椭圆上，，．椭圆的方程为：．（2）设，，，，直线的方程为，由整理得，，．设，，则，，同理可得．，，，为定值．8．已知椭圆的左、右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点，且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上．解：（Ⅰ）因为，椭圆离心率为，所以解得，．所以椭圆的方程是．（Ⅱ）①若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是．所以点的坐标是，点的坐标是．所以直线的方程是，直线的方程是．所以直线，的交点的坐标是．所以点在直线上．②若直线的斜率存在时，如图．设斜率为．所以直线的方程为．联立方程组消去，整理得，显然△．不妨设，，，，所以，．所以直线的方程是．令，得．直线的方程是．令，得．所以．所以点在直线上．