大题专练训练24：圆锥曲线（抛物线：最值范围问题1）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练24：圆锥曲线（抛物线：最值范围问题1）-2022届高三数学二轮复习，共11页。试卷主要包含了已知抛物线的焦点为，已知椭圆的右顶点与的焦点重合等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练24—圆锥曲线（抛物线：最值范围问题）1．已知抛物线的焦点为．（1）求上纵坐标为4的点到焦点的距离；（2）若斜率为2的直线与交于、两点，且达到最小值，求直线的方程；（3）设是的一条弦且，求线段中点横坐标的最小值．解：（1）抛物线的焦点，准线方程为，可得，点到焦点的距离为；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，可得，由△，可得，设，，，，可得，，，则，当时，达到最小值，所以直线的方程为；（3）设直线的方程为，与抛物线方程联立，可得，设，的纵坐标分别为，，可得，，且△，即，由，可得，则，可得线段中点横坐标，当时，，当且仅当，取得等号；当时，令，由在递增，可得的最小值为．综上可得，时，所求最小值为；时，所求最小值为．2．如图，已知点，，是抛物线上的三个不同的点，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）若直线的斜率为1，求顶点的坐标；（Ⅱ）求三角形的面积的最小值．解：（1）直线的斜率为1，直线的倾斜角为，即，又是以点为直角顶点的等腰直角三角形，，直线与轴平行，由抛物线的对称性知，点为原点，．（2）由对称性知，不妨设点在轴的右侧（包括轴），且，，，，，则，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，联立，得，，，，同理可得，，，，化简可得，，的面积，当且仅当时，等号成立，故三角形的面积的最小值为1．3．如图，已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于，．（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）设直线与轴相交于点，记，两点到直线的距离分别为，；求当取最大值时的面积．解：（1）证明：设过点与抛物线相切的直线方程为：，由，因为相切，所以，设，是该方程的两根，由韦达定理得：，，分别表示切线，斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点所以直线为：，直线方程为：，所以过定点．（2）方法一由（1）知，由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，即：，，分居直线两侧，，，当且仅当，又由，令得：，；方法二：因为，由（1）知点坐标为，，又由（1）知直线方程为：，，当且仅当取到等号，又由，令得：，．4．已知抛物线的焦点为，且点，是抛物线上的动点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于，两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当直线垂直于直线时，求实数的取值范围．（Ⅰ）抛物线的焦点为，，则，抛物线方程为；（Ⅱ）设，，，，由题意知，，不与轴垂直，设，，由，得，则，得，同理可得，，由直线与圆相切，可得，得，则，又，，，，即，将代入，化简有：，即，，，即，得．实数的取值范围是，．5．已知椭圆的右顶点与的焦点重合．且椭圆的离心率为，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为．（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于两点，，直线与直线交于点，求的取值范围．解：（1）设椭圆的焦距为，实轴长为，由题意得，则，将代入得，即，所以，由，得，，，，因此椭圆方程为，抛物线的方程为．（5分）（2）设直线的方程为，，，，，由，得，故，，，当时，直线的方程为，令，得，，，令，，在上是增函数，，即，当时，，，，，，综上的取值范围是，．（12分）6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）已知圆交抛物线与，两点，过劣弧上一点作圆的切线交抛物线与，两点，求的取值范围．解：（1）设抛物线的方程为，将坐标代入方程得，①又，②由①，②解得，所以抛物线的方程为．（2）由题意可得、两点坐标分别为，当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，，，由直线与圆相切，得，即，且，所以，在劣弧上，所以，由图象的对称性不妨研究，联立，化简得，有韦达定理得，由抛物线的定义可得，设，，，，所以，所以．（15分）