大题专练训练25：圆锥曲线（抛物线：最值范围问题2）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练25—圆锥曲线（抛物线：最值范围问题）1．如图，已知点，，是抛物线上的三个不同的点，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）若直线的斜率为1，求顶点的坐标；（Ⅱ）求三角形的面积的最小值．解：（1）直线的斜率为1，直线的倾斜角为，即，又是以点为直角顶点的等腰直角三角形，，直线与轴平行，由抛物线的对称性知，点为原点，．（2）由对称性知，不妨设点在轴的右侧（包括轴），且，，，，，则，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，联立，得，，，，同理可得，，，，化简可得，，的面积，当且仅当时，等号成立，故三角形的面积的最小值为1．2．已知抛物线，为抛物线上的一点，为其焦点，且．（1）求抛物线的方程；（2）直线过焦点，若直线、分别交直线于、两点，求的最小值．解：（1）由抛物线的准线方程为，焦点为，且，解得，故抛物线的方程为；（2）由，设，，，，直线的方程为，由消去，整理得，所以，，从而有，由解得点的横坐标为，同理可得点的横坐标为，所以，令，，则，当时，；当时，综上所述，当，即时，的最小值是．3．设抛物线的焦点为，其准线与轴交于．抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）自引直线交抛物线于、两个不同的点，设．若，求实数的取值范围．解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以，解得：，所以抛物线的方程为：；（2）由（1）可得点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，可得：△，即或，①，，②因为．即，，，所以，③，由若，可得：，解得：，所以：，由①②③，所以，且，实数的取值范围，，．4．已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，求面积的最小值．解：（Ⅰ）设点的坐标为，，则点到直线的距离，经过点作圆的切线，切线长为，因此，整理可得，即点的轨迹方程为：；（Ⅱ）对抛物线，求导可得，故在，处的切线方程为：，整理可得：，同理在，处的切线方程为：，设直线上一点，，故，在直线上，即直线的方程为．联立可得．，，点到直线的距离，面积，当且仅当时取等号，故面积的最小值为4．5．已知斜率为1的直线与圆切于点，且点在抛物线上．（1）求的值；（2）若不过点的动直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，求的最小值及此时的值．解：（1）设切线方程为，由题意可知到切线的距离，解得或舍，得切线方程为．设，则，可得，，由在抛物线上，可得，解得；（2）设，，，，由可得，所以，，，因为圆心到直线的距离为，所以，所以，由于不过点的动直线与抛物线和圆均有两个不同的交点，则，解得或．令，则，，，，则，当且仅当，即，即时取得等号，所以当时，取得最小值，且为．6．如图，已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，点是直线上的动点，且（其中为坐标原点）．（1）若直线的倾斜角为，求点到直线的距离；（2）求面积的最小值及取得最小值时直线的方程．解：（1）因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的方程为，又，所以直线的方程为，因为是直线上的动点，所以，，所以到直线的距离为；（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，，所以的面积为；②当直线的斜率存在时，易得直线的斜率不为0，可设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，则△，设，，，，则，，所以，因为，所以直线的方程为，因为是直线上的动点，所以，，所以到直线的距离，所以，综上可得，，故的面积的最小值为，此时直线的方程为．