大题专练训练28：圆锥曲线（切线问题）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练28：圆锥曲线（切线问题）-2022届高三数学二轮复习，共10页。
二轮大题专练28—圆锥曲线（切线问题）2．如图，以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线的焦点为，点是直线上任意一点，过点引抛物线的两条切线分别交轴于点，，切点分别为，．求抛物线的方程；（Ⅱ）求证：点，在以为直径的圆上；（Ⅲ）当点在直线上移动时，直线恒过焦点，求的值．【解答】解：设抛物线的方程为，依题意，所以抛物线的方程为．（Ⅱ）设点，，，．，否则切线不过点，切线的斜率，方程为，其中．令，得，点的坐标为，直线的斜率，，，即点在以为直径的圆上；同理可证点在以为直径的圆上，所以，在以为直径的圆上．（Ⅲ）抛物线焦点，可设直线．由，则．由（Ⅱ）切线的方程为过点，，得，同理．消去，得，由上，即的值为． 1．已知三点，，，曲线上任意一点满足（1）求曲线的方程；（2）点，是曲线上动点，曲线在点处的切线为，点的坐标是，与，分别交于点，，求与的面积之比．【解答】解：（1）由，可得，，，，．由题意可得，化简可得．（2）由题意可得直线，的方程分别为、，且，曲线在点，处的切线斜率为，曲线在点，处的切线方程为，且与轴的交点．由求得，由求得．故，故．故，而，，即与的面积之比等于2．3．已知，点是圆上一动点，动点满足，点在直线上，且．（1）求点的轨迹的标准方程；（2）已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，记点，到直线的距离分别为，，求的最大值，并求出此时点的坐标．【解答】解：（1）由可知，为线段的中点，又，故是线段的垂直平分线，则，点在直线上，，由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，，，另当点坐标为时，与重合，不符合题意，轨迹的标准方程为；（2）设，，，，，则曲线上点，处的切线的方程为，又切线过点，所以，同理可得，故直线的方程为，由弦长公式可得，直线的方程为，，又，在直线两侧，，，令，则，当，即时，有最大值，此时点的坐标为．4．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”．若椭圆的离心率，点在上．求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，且，，分别交其“卫星圆”于点，，证明：弦长为定值．【解答】解：（Ⅰ）由条件可得：解得所以椭圆的方程为，（3分）卫星圆的方程为（4分）证明：①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，所以，所以线段应为“卫星圆”的直径，所以（7分）②当，都有斜率时，设点，，其中，设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，则，联立方程组，消去，整理得，（9分）所以（10分）所以（11分）所以，满足条件的两直线，垂直．所以线段应为“卫星圆”的直径，所以综合①②知：因为，经过点，，又分别交其“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段为“卫星圆” 的直径，所以为定值（12分）5．已知抛物线，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．证明：抛物线在点处的切线与平行；当时，是否存在实数，使得以为直径的圆经过点，若存在，求的值：若不存在，说明理由．【解答】证明：设，，，，把代入，得，．，点的坐标为，．，．即抛物线在点处的切线的斜率为．直线的斜率为．；解：当时，抛物线，联立，得．假设存在实数，使得以为直径的圆经过点，且．由于是线段的中点，．由知：．又．由轴，则．．由，．则存在实数，使得以为直径的圆经过点．6．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若在椭圆上的点，处的切线方程是．求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；（Ⅲ）求证：（点为直线恒过的定点）．【解答】解：椭圆方程的焦点是，故，又，所以，，所以所求的椭圆方程为．（4分）证明：设切点坐标为，，，，直线上一点的坐标，则切线方程分别为，，又两切线均过点，可得点，的坐标都适合方程，故直线的方程是，显然直线恒过点，故直线恒过定点．（9分）证明：将直线的方程，代入椭圆方程，整理得，所以韦达定理可得：，，不妨设，，，同理，（12分）所以，即：，（14分）