大题专练训练34：导数（零点个数问题2）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练34：导数（零点个数问题2）-2022届高三数学二轮复习，共9页。试卷主要包含了已知函数，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练34—导数（零点个数问题2）1．已知函数（1）讨论的单调性；（2）若在区间，上有两个零点，求的取值范围．解：（1）的定义域为，，令，可得或，下面分三种情况．①当时，可得，由，得，由，得，此时的单调递增区间为，单调递减区间为，1．②当时，由，得或，由，得，此时的单调递增区间为，，单调递减区间为．③当时，，在区间上单调递增．（2）由（1）得，当时，在处取得最小值，、且在区间，内先减后增，又，，要使得在区间，上有两个零点，必须有且，由此可得，当时，，显然在区间，上不存在两个零点．当时，由（1）得在区间，内先减后增，又，，故此时在区间，上不存在两个零点．当时，由（1）得在区间，内先增，先减，后增．又（a），，故此时在区间，上不存在两个零点．当时，由（1）得在区间上单调递增，在区间，上不存在两个零点．综上，的取值范围是，．2．已知是自然对数的底数，函数，其中．（1）当时，若，求的单调区间；（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围．解：（1）当时，令，则，当时，，在上单调递减；当时，在上单调递增．（1）．在上单调递增．（2），的零点，令，可得，设，，令，得，且，当时，，单调递增且，；当时，，单调递减且；当时，，单调递增且，作图的大致图象，如图所示，由图象可知，当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点，的取值范围是．3．已知函数（其中为自然对数的底数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围．解：（1）当时，，，令，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的单调递增区间为，无单调递减区间．（2）若有两个极值点，即有两个变号零点．令，（ⅰ）当时，在上单调递减，最多只有一个零点，不合题意；（ⅱ）当时，，最多只有一个零点，不合题意．（ⅲ）当时，令，得；当，，当，；所以在单调递减，在单调递增，则，而当时，，，又，根据零点存在性定理可知．，使得，，令，则式所以，使得，又在单调递减，在单调递增，故在有唯一零点，在上有唯一零点．综上知：若有两个极值点，的取值范围为．4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）函数，当时，讨论零点的个数．解：（1）函数的定义域为，，①当时，，所以在上单调递减，②当时，令，得，若，，若，，所以在单调递减，在单调递增，综上所述，当时，在上单调递减，当时，在单调递减；在单调递增．（2），设函数，，因为，所以得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，取最小值，最小值为（1），若时，（1），所以函数只有1个零点，若时，（1），所以函数无零点，若时，（1），，，故（1），（1），所以函数在和各有一个零点，所以函数有两个零点，综上所述，当时，函数只有1个零点；当时，函数无零点；当时，函数有两个零点．5．已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）设函数，讨论当时，函数的零点个数．解：（1）的定义域为，，，因为在上单调递增，且（1），所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，从而当时，（1），单调递增，故函数的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）函数，，令，得，令，则函数在的零点个数问题即直线与函数的图象在上的交点个数，又，令，，，的变化如下：10所以在上单调递增，又因为当时，，，①当时，直线与函数图象在上有1个交点，即在上零点个数为1个．②当时，直线与函数的图象在上没有交点，即在上零点个数为0个．综上，当时，在上零点个数为0个．当时，在上零点个数为1个．6．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；（Ⅲ）设函数，，试判断的零点个数，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由，得．（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为．（Ⅱ）令，得，解得或．当变化时，和变化情况如下表：00的单调递减区间是，单调递增区间是，；在处取得极大值，在处取得极小值．（Ⅲ）当时，令，可得，．设，，则．①当时，，在区间上单调递增．又，，在区间上有一个零点．②当时，设．，在区间上单调递增．又，，存在，使得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，在区间上无零点．综上，函数在定义域内只有一个零点．7．已知函数，．（1）当，讨论在上的零点个数；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，，则，令，解得，当，，在单调递减，当，，在单调递增，所以是的极小值点同时也是最小值点，即，当，即时，在上没有零点；当，即时，在上只有1个零点；当，即时，因为，所以在只有一个零点，又因为（b），令，则，令，解得，当，，在单调递增，当，，在单调递减，又，所以对，，所以（b），即，所以（b），所以在内只有一个零点，所以在上有两个零点．综上所述，当时，在上有两个零点；当时，函数在上没有零点；当时，函数在上有一个零点．（2）恒成立，，即，所以，构造，所以，则在上单调递增，只需，即恒成立，令，，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以（2），即，又，所以．