大题专练训练37：导数（构造函数证明不等式2）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练37：导数（构造函数证明不等式2）-2022届高三数学二轮复习，共8页。试卷主要包含了已知函数，已知函数，恰好有两个极值点，，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练37—导数（构造函数证明不等式2）1．已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）求证：．解：（1）因为，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以；（2）证明：要证，只需证明：对于恒成立，令，则，当时，，则在上为增函数，又因为，（1），所以存在使得，由，得即即即，所以当时，，单调递减，当，时，，单调递增，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，即．2．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．（1）解：函数的定义域为，，令，即，△，解得或，若，此时△，在恒成立，所以在单调递增．若，此时△，方程的两根为：，且，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．若，此时△，方程的两根为：，且，，所以在上单调递增．综上所述：若，在单调递增；若，在，上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，所以（1），所以在上恒成立．（3）证明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面证，即证2 ，设，，设，，易知在恒成立，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以，即当时，．3．已知函数，恰好有两个极值点，．（Ⅰ）求证：存在实数，使；（Ⅱ）求证：．证明：（Ⅰ），，结合题意，，即存在2个不同正根，先考虑与相切，记切点横坐标为，则，解得：，记，，则，令，解得：，故在递减，在，递增，且（1），（2），故存在唯一，使得成立，取，，则时，恰有2个极值点，得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，且，故，代入，得，设，，，由，得，即，则，时，，，，，故在，递减，在，递增，，，，，，故，即，而（2），故：．4．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证．解：（1），定义域是，则，设，其中△，故令，解得：又，故，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增；（2）证明：要证，即证，即证，设，则，令，得，令，解得：，故在递减，在递增，故（2），即，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，故，又，，故，故成立．5．已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）讨论函数的单调性；（2）当，证明：．参考数据：．（1）解：函数的定义域为，，①当时，，则在上单调递增；②当时，由，解得，当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，单调递减，在，单调递增，（2）证明：①当时，显然有；②当时，令，则函数（a）在时单调递减，所以只需证明（1），即，令，则，显然单调递增，又，，所以存在唯一，使，当时，，单调递减；当，时，，单调递增，所以，因为，所以，即，所以，又因为，所以，所以，从而，所以，则，故待证不等式成立．6．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若（1）且，证明：，；（3）记方程的三个实根为，，，若，证明：．解：（1）的定义域是，，令，解得或，，，故在递增，在递减，在递增；（2）证明：由（1）知（1），若（1）且，则，要证，，即证，，令，则，故在递增，在递减，故（1）或，故（1），，，，故在恒大于0，即，；（3）当时，，即的3个零点分别是，，，，令，解得，或，故在递增，在递减，在递增，（1），（3），，，，又（4），，故，成立．