大题专练训练38：导数（双变量与极值点偏移问题1）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练38：导数（双变量与极值点偏移问题1）-2022届高三数学二轮复习，共10页。试卷主要包含了已知函数，已知函数，，函数在上不单调，已知函数为常数）等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练38—导数（双变量与极值点偏移问题1）1．已知函数，若关于的方程有两个正实数根，且．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．解：（1）由，得，令，则或，当或时，；当时，，在和 上单调递减，在上单调递增，且有两个正根，（1），，的取值范围为．（2）关于的方程有两个正实数根，且．由（1）知，设，，则，在上单调递减，（1），，又 在 上单调递减，，，要证，只需证，即证， 且， 成立．2．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求的取值范围．（2）设的两个极值点为，，证明．解：（1）函数的定义域为，．函数在其定义域内有两个不同的极值点．方程在有两个不同根；转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点．又，即时，，时，，故在上单调增，在上单调减．故（e）．又有且只有一个零点是1，且在时，，在在时，，故的草图如右图，，即．故的取值范围为．（2）由（Ⅰ）可知，分别是方程的两个根，      即，，设，作差得．得．要证明．只需证明，，即只需证明，令，则，只需证明，设  ，．函数在上单调递增，（1），故成立．成立．3．已知函数．（1）若对任意的实数，函数的图象与直线有且只有两个交点，求的取值范围；（2）设，若函数有两个极值点，，且，证明：．解：（1），则，由已知得：函数的图象与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数解，设，则’ ，令’ 得：，时，’ ，单调递减，时，’ ，单调递增，，，，且时，；时，，时，函数’ 的图象与直线有且只有两交点．（2）证明：，’ ，函数有两个极值点，，方程’ 有两个不同的实数解，，由（1）知：，，且，在区间，，上单调递增，在区间，上单调递减，且，，设，则，在上单调递减，又，恒成立，即，，又在，单调递减，，要证，只须证，即证，设，则’ ，令，则’ ，所以在单调递增，，即’ ，所以在单调递增，，故当时，，即，所以，亦即．4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，．①求的取值范围；②证明：．解：（1）的定义域为，，（ⅰ）当时，在上单调递增；（ⅱ）当时，若，则，在上单调递增；若，则，在区间上单调递减；综上：时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；（2）①由（1）知，时，单调递增，至多一个零点，不合题意，当时，在上单调递增，在区间上单调递减；，若函数有两个零点，，由于时，，时，，所以，解得，故所求的取值范围为；②证明：由题意：，，，要证，只要证，即．只要证即证，令，，（1），即成立，故原不等式成立．5．已知函数，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：函数有两个不相等的零点，，证明：．解：（1）当时，，，令，解得，，，当或时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，证明：（2），在上单调递增，在上单调递减，（1），，（2），，，使得，要证，即证，，，又且在上单调递增，需证，即证，，即证，，令，，，，，，在恒成立，在上单调递增，（1），当时，，得证，．6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：．1）解：的定义域为，．令，方程的判别式△，（ⅰ）当△，即时，恒成立，即对任意，，所以在上单调递增．（ⅱ）当△，即或．①当时，恒成立，即对任意，，所以在上单调递增．②当时，由，解得，．所以当时，；当时，；当时，，所以在上，，在上，，所以函数在和上单调递增；在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由，得，所以，因为，所以，令，则，，所以，，所以，所以要证，只要证，即证，由（1）可知，当时，所以在上是增函数，所以，当时，（1），即成立，所以成立．7．函数在上不单调．（1）求的取值范围；（2）若，，，求证：．解：（1），根据题意知，在上有变号根，即方程在上有变号根，等价于方程在上有变号根，即方程在上有变号根，而当时，，于是，得．（2）证明：函数定义域为，，，当时，的正负性与一致，令，该二次函数开口向上，对称轴为：，且，，（1），故存在，使得，，，使得，即，均为一元二次方程的根，故，，故，其中，故由此，，故，令，，时，恒成立，此时单调递减；故，，对，，恒成立．8．已知函数为常数）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，，且，证明：．解：（1），，，设，，当时，△，成立，则有，所以函数在单调递增，当时，△，由得或（舍，由得，令，解得：（舍或，故时，，故在递增，时，在，单调递增，在单调递减，综上：当，时，函数在的单调递增，当时，函数在，单调递增，在单调递减；（2）证明：由（1）知函数的两个极值点，满足，，不妨设，则在，上是减函数，故，，令，则，又，即，解得，故，，设，则，在，上为增函数，，所以．