大题专练训练40：导数（证明数列不等式1）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练40：导数（证明数列不等式1）-2022届高三数学二轮复习，共7页。试卷主要包含了若函数在，上为增函数，已知函数，为自然对数的底数），已知函数，，，已知函数，设函数，其中等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练40—导数（证明数列不等式1）1．若函数在，上为增函数．（Ⅰ）求正实数的取值范围．（Ⅱ）若，求证：且解：（Ⅰ）由已知：依题意得：对，恒成立对，恒成立即：（Ⅱ），在，上为增函数，时：即：设，，则对，恒成立，在为减函数，时：（1）即：综上所证：且成立． 2．已知函数，为自然对数的底数）．（1）求函数的单调区间；（2）记函数的最小值为（a），求（a）取最大值时实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：（其中．（1）解：由题意，，由，得．当时，；当时，．的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）解：由（1）知，当时，取得极小值，也为最小值，其最小值为（a）．由（a），得．（a）在区间上单调递增，在区间上单调递减，（a）在处取得最大值，而（1）．因此（a）取得最大值时，．（3）证明：由（2）知，当时，对任意实数均有（1），即，即．令，，1，2，3，，，则，，．3．已知函数，，．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若在上恒成立，求的值；（Ⅲ）求证：对一切大于2的正整数都成立．解：，当时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值（1）．由恒成立可得恒成立，设，则，故，，函数在处的切线方程为，恒成立．．由可知恒成立，当且仅当时取等号．令，，2，3，，，则，即，，，对一切大于2的正整数都成立．4．已知函数（1）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对于任意的正整数，不等式恒成立．解：（1）由，得，则，①当时，，则在，上递增，，在，上递增，，②当时，，则在，上递减，，在，上递减，，且仅有，时，不等式不恒成立，③当时，令，，当时，，在，上递减，从而，在，上递增，即，且仅有，时，不等式不恒成立，综上，的取值范围为：．（2）要证对，不等式恒成立，即证，即证，即证①，且②，对①相当于（1）中，有在，上递减，即而且仅有，取，有成立，对②相当于（1）中，有，，而且仅有，取，有成立，对，不等式恒成立．5．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若对一切实数，都有恒成立，求的取值范围．（Ⅲ）求证：，．解：（Ⅰ）由，①当时，显然；②当时，由得，显然当时，；所以当时，在上单调递增；当时，在上递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）问知，当时，递增，且，不合题意，舍去．当时，由（Ⅰ）知，当时，，当时，所以当时，有极小值也是最小值，即，依题意，①①式可化为，而由超越不等式知：时取到等号），所以比较上下两式可以发现，即时取到等号），下面给出其证明：令（a），，则（a），于是（a）时，，同理知当时，（a）有极大值也是最大值，所以（a）（1）②比较①②式可得，（a），即为所求． （Ⅲ）由（Ⅱ）知对，有，于是令，则有即有，即（当且仅当时取等号）所以有即，即证．6．设函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）当且时证明不等式：．解：（1），当时，，在上递增；当，，解得，，，①当时，，，，得，，得，②当时，，，，得，，，得；综上可得，当时，的增区间为；当时，的增区间为，，减区间为；当时，的增区间为，，减区间为，；（2）时，，令，在恒正，在，递增，时，，即当时，，即，对任意的为正整数，取，有，则．