大题专练训练41：导数（证明数列不等式2）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练41—导数（证明数列不等式2）1．已知函数．（1）求证：；（2）求证：对于任意正整数，．证明：（1），当时，单调增，当时，单调减，所以（1）的最小值为（1）；（2）由（1）知，令得，所以，所以．2．设函数，其中．（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）求函数的极值点；（3）证明对任意的正整数，不等式都成立．解：（1）的定义域为，，令，则在上递减，，上递增；；从而在上恒成立，；即当时，在上单调递增；（2）①当时，由（1）知函数没有极值点；②当时，解得两个不同的解，，；若，由于，；在上有唯一的极小值点；若时，，；在取得极大值，在取得极小值；综上所述，当时，在上有唯一的极小值点；当时，有极大值点，极小值点；当时，函数没有极值点；（3）证明：取，则，令，则在，上恒成立，故在，上单调递增，故当时，恒有；即恒有；故对任意的正整数，不等式都成立．3．已知函数．（1）若对都成立，求的取值范围；（2）已知为自然对数的底数，证明：，．（1）解：对都成立．．．当时，，函数单调递增，，成立，因此满足条件．当时，，函数单调递减，，不满足条件，舍去．当时，，当时，函数单调递减，，不满足条件，舍去．综上可得：只有当时满足条件．因此的取值范围是，．（2）证明：由（1）可知：当时，，．取，，，．，，，．由（1）可知：当时，，．取，，，．则，，，．综上可得：，．4．已知函数．（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范围；（3）证明：为自然对数的底数）．解：（1）因为，所以 ，因为 是函数的一个极值点，故（1），即，当 时，当经验得是函数的一个极值点，所以．（2）因为在， 上恒成立，所以．当时， 在，上恒成立，即在，上为增函数所以 成立，即 为所求．当时，令，则，令，则，即在上为减函数，在 上为增函数．当时，，这与 矛盾．综上所述，的取值范围是，．（3）要证，只需证．两边取自然对数得，，上式等价于，只需要证明，只需要证明，由时，在 单调递增．又，，，从而原命题成立．5．已知函数，．（Ⅰ）当时，求的最大值；（Ⅱ）若对，，恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明．解：（Ⅰ）当时，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；函数的最大值．（Ⅱ），，，．①当时，恒成立，在，上是减函数，适合题意．②当时，，在，上是增函数，，不能使在，恒成立．③当时，令，得，当时，，在上为增函数，，不能使在，恒成立，的取值范围是，．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得，，取，，则，，，． 6．已知函数．（1）求函数的单调区间及最值；（2）若对，恒成立，求的取值范围；（3）求证：．解：（1）的定义域为，所以函数的增区间为，减区间为，，无最小值．（2），令．则．当时，显然，所以在上是减函数．所以当时，．所以，的取值范围为，．（3）由（2）知，当，时，，即．在式中，令，得，即，依次令，2，3，，得．将这个式子左右两边分别相加，得．