大题专练训练42：随机变量的分布列（超几何分布1）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练42—随机变量的分布列（超几何分布1）1．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如图：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为，求随机变量的分布列及均值；（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小．（只需写出结论）解：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人．故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为．（4分）（2）学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，故的所有可能取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量的分布列为：01234均值．（10分）（3）由折线图可得．（12分）2．2020年“双11”当天各大线上网站的消费额统计都创下新高，体现了中国在“新冠”疫情之后经济复苏的良好态势．某网站为了调查线上购物时“高消费用户”是否与性别有一定关系，随机调查200个“双11”当天在该网站消费的用户，得到了如下不完整的列联表；定义“双11”当天消费不高于10000元的用户为“非高消费用户”，消费10000元以上的用户为“高消费用户”． 高消费用户非高消费用户总计男性用户20  女性用户 40 总计80  附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（1）将列联表填充完整，并判断是否有的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关？（2）若采用分层抽样的方法从随机调查的200个用户中抽出10个人，再随机抽4人，记高消费用户人数为，求的分布列和数学期望．解：（1） 高消费用户非高消费用户合计男性用户2080100女性用户6040100合计80120200，所以有的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关．（2）由（1）可知抽取的10人中，高消费人数有4人，非高消费人数有6人，故的取值分别为，0，1，2，3，4；；；；；所以的分布列：01234．3．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如表频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．垃圾量，，，，，，，频数56912864（1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值；（2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为50个样本社区的平均值（精确到0.1吨），估计该市类社区中“超标”社区的个数；（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望．附：若服从正态分布，则；；．解：（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则．估计该市类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨，（2）据题意，，，即，则．因为，估计该市类社区中“超标”社区约51个．（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在，内的“超标”社区也有4个，则的可能取值为1，2，3，4．，，，．则的分布列为：1234所以．4．某班级60名学生的考试分数分布在区间，内．设考试分数的频率分布为，且满足，考试成绩采用“6分制”，规定：考试分数在区间，，，，，，，，，，，内的成绩依次记为1分，2分，3分，4分，5分，6分．在60名学生中用分层抽样的方法从成绩为1，2，3分的学生中随机抽取6人，再在这6人中随机抽查3人，记这3人成绩之和为．（1）求的值；（2）求的分布列及数学期望．解：（1）因为，所以由频率和为1可得：，解得，即为的值；（2）的可能取值为5，6，7，8，9，，，，，，所以的分布列为：56789期望．5．防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用．北京地区2010年至2019年每年汛末月1日）水库的蓄水量数据如表：年份2010201120122013201420152016201720182019蓄水量（亿立方米）11.2513.2513.5817.412.412.118.326.534.334.1（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）解：（Ⅰ）设事件为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”，从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，（2分）由图表可知，事件包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”． （3分）所以．（4分）（Ⅱ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年．随机变量的所有可能取值为0，1，2．（5分），，．（8分）所以随机变量的分布列为：012（9分）所以．（11分）（Ⅲ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大．（14分）6．2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：（Ⅰ）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；（Ⅱ）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数．求的分布列及数学期望；（Ⅲ）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨．当为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明）（注：方差，其中为，，的平均数）解：（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件（1分）由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨（2分）所以．（4分）（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月．的所有可能取值为0，1，2．（5分），，（8分）所以的分布列为：012（9分）（11分）（Ⅲ）（14分）当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小．7．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取了400名用户，从地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，，，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如图：（Ⅰ）从地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；（Ⅱ）从地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及，两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）解：（Ⅰ）由题知地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分，所以从地区抽取的400名用户中随机选取一名，这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率是．（Ⅱ）由题可知的可能取值为0，1，；；．所以的分布列如下表：012所以的数学期望．（Ⅲ）．8.进入2019年夏季以来，猪肉价格持续上涨，在这种情况下，某企业对其400名男职工进行了问卷调查，得到每周购买猪肉的消费情况如频率分布直方图所示：若每周购买猪肉不低于40元者视为“喜欢吃肉”，否则视为“不喜欢吃肉”．（Ⅰ）若以每组数据的中点值代替该组数据，求该单位男职工购买猪肉花费的平均数；（Ⅱ）为了解男职工对猪肉的营养价值方面的知识的掌握程度，在全体男职工中根据“喜欢吃肉”和“不喜欢吃肉”，按照分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行访谈，记这3人中“喜欢吃肉”的人数为X，求X的分布列及数学期望．解：（Ⅰ）由频率分布直方图能求出单位男职工购买猪肉花费的平均数为：＝（5×0.010+15×0.018+25×0.022+35×0.025+45×0.020+55×0.005）×10＝29.2（元）．（Ⅱ）由题意得“喜欢吃肉”的男职工有：（0.020+0.005）×10×400＝100（人），“不喜欢吃肉”的男职工有300人，按照分层抽样的方法，则“喜欢吃肉”的男职工抽取×8＝2（人），“不喜欢吃肉”的男职工抽取6人，则X的所有可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为： X 0 1 2 P   E（X）＝0×+1×+2×＝．