大题专练训练45：随机变量的分布列（二项分布2）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练45：随机变量的分布列（二项分布2）-2022届高三数学二轮复习，共12页。试卷主要包含了且Xn～B等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练45—随机变量的分布列（二项分布2）1．2019年9月1日央视《开学第一课》播出后，社会各界反响强烈，全国人民爱国主义热情空前高涨，在新中国成立70周年前夕，上演了一次小高潮．某兴趣小组为了了解某校学生对《开学第一课》的喜欢程度，从该校随机抽取了100名学生对该节目进行打分，并把相关的统计结果记录如表：喜欢程度不喜欢喜欢非常喜欢分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数19183240以喜欢程度位于各区间的频率代替喜欢程度位于该区间的概率．（1）试估计这100名学生对节目打分的中位数和平均数；（2）为了感谢学生对该次调查统计的支持，兴趣小组决定从全校随机抽取3名学生进行奖励，X表示所抽取的学生中来自“非常喜欢”的人数，求X的分布列和数学期望．解：（1）∵0.01+0.09+0.18＜0.5，0.01+0.09+0.18+0.32＞0.5，∴中位数x∈[80，90），由0.01+0.09+0.18+（x﹣80）×＝0.5，解得x＝86.875，故中位数为86.875；由55×+65×＝85.1，得平均数为85.1；（2）从该校随机抽取1名学生，该学生对节目喜欢程度为“非常喜欢”的概率为．X的可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．X的分布列为：X 0123 P    ∴E（X）＝0×＝．2．2020年初，新冠肺炎袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北外疫情最严重的省份之一，截止2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）．（1）为了了解新冠肺炎的相关特征，研究人员统计了他们的年龄数据，可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z服从正态分布N（54.8，15.22），请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例；（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立，现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n（n可以取2，4，5，10）个人一组平均分组，并将同组n个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n个人抽取的另一半血液逐一化验，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n的值．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9973.0.94≈0.66，0.95≈0.59，0.910≈0.35．解：（1）P（54.8﹣15.2＜X＜54.8+15.2）＝P（39.6＜X＜70）＝0.6826．P（Z≥70）＝＝＝0.1587＝15.87%．所以该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（≥70）的患者比例为15.87%．（2）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为，n的可能取值为2，4，5，10．且Xn～B（n，）对于某组n个人，化验次数Y的可能取值为1，n+1．P（Y＝1）＝，P（Y＝n+1）＝1﹣所以E（Y）＝1•+（n+1）[1﹣]＝n+1﹣n，则20人的化验总次数为f（n）＝[n+1﹣n]＝20[1+﹣]，经计算f（2）＝13.8，f（4）≈11.8，f（5）≈12.2，f（10）≈15．所以，当n＝4时符合题意，即按4人一组检测，可是化验总次数最少．3．某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三1000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图： 前50名后50名近视4232不近视818（1）求a的值，并估计这1000名学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到如上图表格数据：根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关？（3）若报考某高校某专业的资格为：视力不低于5.0，以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为X，求X的分布列及数学期望．P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879其中．解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.25+0.5+2a+1+1.75）×0.2＝1，解得a＝0.75．视力在4.4以下的频率为：（0.5+0.75）×0.2＝0.25，视力在4.6以下的频率为：（0.5+0.75+1.75）×0.2＝0.6，∴中位数在4.4至4.6之间，设中位数为x，则（x﹣4.4）×1.75＝0.5﹣0.25，解得x＝4.54，∴中位数为4.54．（2）K2＝＝≈5.2＞3.841，∴有95%把握认为视力与学习成绩有关．（3）视力在4.8以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占有比例为：＝，∴从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校专业的人数X～B（4，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝××＝，P（X＝3）＝×＝，P（X＝4）＝（）4＝，∴X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P     E（X）＝4×＝1．4．2019年“非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如图所示）．（1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生猪重量达不到270斤的概率（以频率代替概率）；（2）若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为5000头，生猪市场价格是8元/斤，试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元；（3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到270斤及以上的生猪数为随机变量Y，试求随机变量Y的分布列及方差．解：（1）估计生猪重量达不到270斤的概率为（0.0005+0.002）×40+0.005×30＝0.25．（2）生猪重量的平均数为180×0.02+220×0.08+260×0.2+300×0.32+340×0.24+380×0.1+420×0.04＝305.6（斤）．所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.6×8×5000＝1222.4（万元）．（3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为，由题意可得随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，则Y～B（2，），∴，，，∴随机变量Y的分布列为Y012P∴随机变量Y的方差．5．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表．购买金额（元）[0，15）[15，30）[30，45）[45，60）[60，75）[75，90]人数101520152010（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关． 不少于60元少于60元合计男 40 女18  合计   （2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元．若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．附：参考公式和数据：．附表：k02.0722.7063.8416.6357.879P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005解：（1）2×2列联表如下：  不少于60元 少于60元 合计 男 12 40 52 女 18 20 38 合计 30 60 90K，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；（2）由题意可得X的所有可能取值为65，70，75，80，且p＝，由题意随机变量X服从二项分布X～B（3，），则P（X＝65）＝C，P（X＝70）＝C，P（X＝75）＝C，P（X＝80）＝C，所有X的分布列如下： X 65 70 75 80 P    期望E（X）＝65×．6．中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场．为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元．（1）求系统需要维修的概率；（2）该电子产品共由3个系统组成，设为电子产品所需要维修的费用，求的期望；（3）为提高系统正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作．问：满足什么条件时可以提高整个系统的正常工作概率？解：（1）该电子产品的一个系统有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修，系统需要维修的概率为：．（2）设为需要维修的系统的个数，则，且，的期望（元．（3）当系统有5个元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统正常才正常工作，若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为，若前3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为：，若前3个电子元件都正常工作，则不管新增的两个是否正常工作，系统均能正常工作，则概率为：，新增两个元件后系统能正常一作的概率为：，由，由，得，时可以提高整个系统的正常工作概率． 7．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数．某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间）．将样本数据分成[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布．（1）求图中a的值；（2）设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算），取σ＝3.64，若该企业恰有10万人正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数Z位于区间[4.88，15.8]范围内的人数；（3）现从该企业员工中随机抽取20人，其中有k名员工的日健步步数在13千步至15千步内的概率为P（X＝k），其中k＝0，1，2，…，20，当P（X＝k）最大时，求k的值．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．解：（1）由0.02×2+0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.15×2+a×2+0.05×2+0.04×2+0.01×2＝1，解得a＝0.1，（2）μ＝4×0.04+6×0.04+8×0.1+10×0.1+12×0.3+14×0.2+16×0.1+18×0.08+20×0.02＝12.16∴P（4.88≤Z≤15.8）＝P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+σ）＝＝0.8186，100000×0.8186＝81860，∴估计这些员中日健步步数Z位于区间[4.88，15.8]范围内的人数约为81860人．（2）设从该企业中随机抽取20人日健步步数在13千步至15千步内的员工有X人，则X～B（20，0.2），∴P（X＝k）＝C20k•0.2k•0.820﹣k，k＝0，1，2，…，20，记f（k）＝＝＝，当f（k）＞1时，k＜4.2，则P（X＝k﹣1）＜P（X＝k）当f（k）＜1时，k＞4.2，则P（X＝k﹣1）＞P（X＝k），所以当k＝4时，P（X＝k）最大．