大题专练训练47：随机变量的分布列（比赛类）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练47：随机变量的分布列（比赛类）-2022届高三数学二轮复习，共12页。试卷主要包含了有一种击鼓游戏，规则如下等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练47—随机变量的分布列（比赛类）1．某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得﹣10分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得﹣20分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望；（3）求这位参赛者闯关成功的概率．解：（1）设事件Ai这位参赛者回答对第i个问题（i＝1，2，3），∴＝．（2）ξ＝﹣30，﹣20，0，10，20，30，50，60，，，，，，，，，∴ξ的分布列为：ξ﹣30﹣2001020305060PE（ξ）＝+10×+20×+30×+50×+60×＝．（3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为．2．甲、乙两位选手在某次比赛的冠、亚军决赛中相遇，赛制为三局两胜（当一方赢得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），比赛每局均分出胜负．甲、乙以往进行过多次比赛，若从中随机抽取20局比赛结果作为样本，抽取的20局中甲胜12局、乙胜8局，若将样本频率视为概率，各局比赛结果相互独立．（1）求甲获得冠军的概率；（2）此次决赛设总奖金50万元，若决赛结果为，则冠军奖金为35万元，亚军奖金为15万元；若决赛结果为，则冠军奖金为30万元，亚军奖金为20万元．求甲参加此次决赛获得奖金数的分布列和数学期望．解：（1）用样本频率估计概率可知，每局比赛甲获胜的概率为．每局比赛乙获胜的概率为，甲获得冠军的概率．（2）由题意知，的所有可能的取值为35，30，20，15，，，，，的分布列为：35302015（万元）．3．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；②设“虎队” 轮得分之和为，求的期望值．（参考公式解：（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，则（C）．（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，则，，，，，．故的分布列如下图所示：012346②有可能取为0，1，3，，，，，设“虎队” 轮得分之和为，则的期望值．4．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如图频率分布直方图：（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩服从正态分布，其中可以近似为100名学生的预赛平均成绩，，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第，2，，题时扣掉分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量应为多少？（参考数据，若，则，，．解：（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生有人，其中成绩优良人数为人，则至少1人成绩不低于80分的概率为；（2）由题意可知平均值，所以，又，则，所以，所以估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为人；（3）设为甲答对题数，则，所以，记甲答完题所加分数为，则，所以，依题意为获取答题的资格，甲要花掉分数为，记甲答完题分数为，则，由于，所以当时，取得最大值为104.9，即成绩的最大值为104.9时，道题量为7．5．第31届世界大学生夏季运动会定于2021年8月18日日在成都举行，成都某机构随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次，整理数据如表（单位：天）打乒乓球人次天气状况，，，晴天21320阴天4610雨天645雪天820（1）若用样本频率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量，求的分布列和数学期望．（2）假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好”．完成下面的列联表，判断是否有的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关． 人次人次天气好  天气不好  参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由题意可知随机变量的可能取值为0，1，2，3，4．设一天为阴天的概率为，则，故，，，，，．则的分布列为：01234故；（2）由题意可得的列联表： 人次人次天气好2530天气不好205则．因为，所以有的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关．6．有一种击鼓游戏，规则如下：每局游戏有两次机会，每次击鼓要么出现“你真棒“，要么出现“再努力”，若击鼓一次出现“你真棒”，则得10分，若出现“再努力”，则得﹣20分．设击鼓一次出现“你真棒”的概率为α，且各次击鼓相互独立．（1）设每局游戏所得的分数为X，求X的分布列；（2）经过多次试玩该游戏，发现玩的局数越多，总分数越少，请你结合概率的知识确定α的取值范围；（3）若击鼓6次，求恰有3次出现“你真棒”的最大概率解：（1）X的所有可能取值为﹣40，﹣10，20．根据题意有：P（X＝﹣40）＝，P（X＝﹣10）＝，P（X＝20）＝．∴X的分布列为： X﹣40﹣1020 P（1﹣α）2 2（1﹣α）αα2（2）由（1）知，E（X）＝﹣40（1﹣α）2﹣10×2（1﹣α）α+20α2＝60α﹣40，由于玩的局数越多，总分数越少，∴60α﹣40＜0，得α＜，又α＞0，∴α的取值范围为（0，）；（3）设ξ为击鼓6次中出现“你真棒”的次数，则P（ξ＝3）＝，0＜α＜1．令f（α）＝20α3（1﹣α）3，0＜α＜1，则f′（α）＝60α2（1﹣α）2（1﹣2α），令f′（α）＞0，得0＜α＜，令f′（α）＜0，得＜α＜1，∴f（α）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴当α＝时，f（α）取得最大值，且f（）＝，故恰有3次出现“你真棒”的最大概率为．7．业余围棋高手甲与专业围棋高手乙进行比赛，为体现比赛的公平性，两人约定，甲胜一局得2分，乙胜一局得1分．甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．（Ⅰ）比赛3局后，甲的得分为X，求X的分布列与数学期望；（Ⅱ）比赛若干局后，甲、乙两人的得分之和若为n分，得分之和为n的概率为Pn，请写出概率Pn，Pn﹣1，Pn﹣2（n≥3）之间的关系式，并求出Pn．解：（Ⅰ）由题意知甲获胜得2分，获胜的概率为，甲输的概率为，甲得分X的可能取值为0，2，4，6，P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝6）＝（）3＝，∴X的分布列为： X 0 2 4 6 P    E（X）＝＝2．（Ⅱ）甲、乙两人得分之和为n时，即得分之和为n﹣1后，乙再胜一局，或得分之和为n﹣2后，甲再胜一局，∴，∴，∴数列{}是常数列，∵P1＝，P2＝＝，P3＝＝，∴＝1，P3+＝1，∴＝1，∴＝﹣（Pn﹣1﹣），∴Pn＝﹣，＝﹣（Pn﹣1﹣），∴数列{Pn﹣}是以﹣为首项，﹣为公比的等比数列，∴Pn﹣＝﹣×（﹣）n﹣1，∴Pn＝．8．某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成．比赛中每人投篮n次（n∈N*），每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为，男生投篮命中的概率均为．（1）当n＝2时，求小组共投中4次的概率；（2）当n＝1时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．解：（1）①男生投中2次，女生投中2次的概率为×××+×××××4＝；②男生投中1次，女生投中3次的概率为×××××××＝；③男生投中0次，女生投中4次的概率为××＝，所以共投中4次的概率为++＝．（2）X的所有可能取值为30，20，10，﹣60，P（X＝30）＝×＝，P（X＝20）＝×××+××＝，P（X＝10）＝×+×××＝，P（X＝﹣60）＝×＝，所以X的分布列为 X 3020 10﹣60 P    数学期望E（X）＝30×+20×+10×+（﹣60）×＝．