大题专练训练49：随机变量的分布列（正态分布）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练49：随机变量的分布列（正态分布）-2022届高三数学二轮复习，共12页。
二轮大题专练49—随机变量的分布列（正态分布）1．消费扶贫是社会各界通过消费来自贫困地区和贫困人口的产品与服务，帮助贫困人口增收脱贫的一种扶贫方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径．大力实施消费扶贫，有利于动员社会各界扩大贫困地区产品和服务消费，调动贫困人口依靠自身努力实现脱贫致富的积极性，促进贫困人口稳定脱贫和贫困地区产业持续发展．某地为了解消费扶贫对贫困户帮扶情况．随机抽取80户进行调查，并以打分来进行评估．满分为10分．如表是80户贫困户所打分数X的频数统计．分数X5678910频数482024168（Ⅰ）求贫困户所打分数的平均值；（Ⅱ）若从打分不低于8分的贫困户中，任意抽取两户的分数和为Y，求Y的分布列；（Ⅲ）为了更好调查消费扶贫对贫困户帮扶情况．某地民政部门从本地20000户贫困户中抽取200户对2020年的收入进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：收入（千元）[6，8）[8，10）[10，12）[12，14）[14，16）[16，18]频数206060302010（ⅰ）求这200户2020年消费扶贫帮扶收入平均值和样本方差s2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；（ⅱ）假设所有参与贫困户的收入X可视为服从正态分布N（μ，σ2）且μ与σ2可分别由（ⅰ）中所求的样本平均数及样本方差s2估计．若2021年计划帮扶贫困户的户数是3174户，根据调查，最低收入高于样本平均数，请你预测（需说明理由）需要帮扶贫困户最低收入．参考公式及数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．解：（Ⅰ）＝++＝．（Ⅱ）由题意可知Y的所有可能取值为16，17，18，19，20，P（Y＝16）＝＝，P（Y＝17）＝＝，P（Y＝18）＝＝，P（Y＝19）＝＝，P（Y＝20）＝＝，则Y的分布列为： Y 16 17 18 19 20 P     （Ⅲ）（i）根据表中给的数据，这200户的平均值为：＝+＝11（千元）．这200户的方差为：S2＝×（﹣4）2++＝6.8（千元）．（ii）由题意知＝0.1587，X～N（11，6.8），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（X＞μ+σ）＝＝0.1587．∴2021年份预测的需要帮扶贫困户的最低收入约为13.69（千元）．2．为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表：周末运动时间（分钟），，，，，，人数300600900450450300（1）从周末运动时间在，的学生中抽取3人，在，的学生中抽取2人，现从这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自，的人数为，求的分布列和数学期望；（2）由频率分布表可认为：周末运动时间服从正态分布，其中为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在，之外的人数为，求（精确到；参考数据1：当时，，，．参考数据，．解：（1）随机变量的可能取值为0，1，2，，012所以．（2），又，，所以，所以或，所以，所以．2．2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品．根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于．为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口罩，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布．假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立．记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量．（1）求的概率；（2）求的数学期望；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量，则，，，．解：（1）抽取口罩中过滤率在，内的概率，所以，所以，故．（2）由题意可知，所以．（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于的概率，，一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件．所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修．可见这种监控生产过程的方法合理．3．某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研．从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]．并整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求直方图中x的值；（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为y，求y的分布列及数学期望E（y）；（3）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）≈0.6827，且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）≈0.9545，则称S近似服从正态分布N（μ，σ2）．若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布N（225，225），则给予这套试卷好评，否则差评，试问：这套试卷得到好评还是差评？解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解得x＝0.0075；（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4，所以随机变量y服从二项分布B～（3，0.4），故P（y＝k）＝C3k0.4k0.63﹣k，k＝0，1，2，3，故y的分布列为 y0123 P0.216 0.4320.2880.064则E（y）＝3×0.4＝1.2；（3）记该市高三考生的理综成绩为z，由题意可知，P（210＜z＜240）≤P（200＜z＜240）＝20×（0.011+0.0125）＝0.47＜0.6827，P（195＜z＜255）≤P（180＜z＜260）＝20×（0.0095+0.011+0.0125+0.0075）＝0.81＜0.9545，所以z不近似服从正态分布N（225，225），所以这套试卷得到差评．4．某省高考曾经使用过一段标准分制度，标准分是把学生考试的基础分参与全省排出相对名称，通过公式换算成标准分．高考后公布考生的标准分，而不公布基础分．考生根据自己的标准分多少就可以大致估出自己在全省考生的名次．其标准分X是服从正态分布N（500，1002）的随机变量．假设某学生的数学成绩不低于600的概率为p0．（Ⅰ）求p0的值；（Ⅱ）某校高三的高考英语和数学两科都超过600分的有5人，仅单科超过600分的共有8人，在这些同学中随机抽取3人，设三人中英语和数学双科都超过600分的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．）解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（500，1002），∴μ＝500，σ＝100，P（X＞600）＝1﹣P（X≤600），由正态分布的对称性，可知P（x≤500）＝，则P（400＜X≤600）＝0.6826，则p0＝P（X＞600）＝1﹣P（X≤600）＝1﹣[P（X≤500）+P（400＜X≤600）]＝1﹣（）＝1﹣（0.5+0.3413）＝0.1587．（Ⅱ）英语和数学双科都超过600分的有5人，仅单科超过600分的有8人，ξ的所有取值有0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 P    E（ξ）＝＝．5．5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一．2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开．A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，统计结果如图所示：（1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s＝14.31．若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间（56.19，99.12]的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为．每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动．（ⅰ）求小王获得900元话费的概率；（ⅱ）求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）．参考数据：若随机变量z服从正态分布N（μ，σ2），即z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z≤μ+2σ）≈0.9545．解：（1）由题意知样本平均数为，所以（μ﹣σ，μ+2σ）＝（70.5﹣14.31，70.5+2×14.31）＝（56.19，99.12），而，故2万名5G手机用户中满意度得分位于区间（56.19，99.12]的人数约为20000×0.8186＝16372（人）．（2）（ⅰ）小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，故所求的概率为：．（ⅱ）由题意可求得所以．令，①则，②由①﹣②得，所以，所以小王所获话费总额X的数学期望：＝（元）．6．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取200只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如图的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计200只小白鼠该项医学指标平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X服从正态分布N（μ，σ2），且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的200只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有16只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值近似为样本方差s2.经计算得s2＝6.92，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p（精确到0.01）．附：参考数据与公式≈2.63，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．解：（1）由频率分布直方图可得：X12141618202224p0.040.120.280.360.100.060.04则；（2）∵μ﹣σ＝17.40﹣2.63＝14.77，∴，记事件A表示首先注射疫苗后产生抗体，则p（A）＝0.8414，可得，因此200只小白鼠首先注射疫苗后有200×0.8414≈168只产生抗体，有200﹣168＝32只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率．