大题专练训练50：随机变量的分布列（独立性检验）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练50：随机变量的分布列（独立性检验）-2022届高三数学二轮复习，共14页。
二轮大题专练50—随机变量的分布列（独立性检验）1．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质量指数（英文为BodyMassIndex，简称BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝，中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜23.9为正常；24≤BMI＜27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖．某地区随机调查了100名35岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算BMI数值．（1）根据调查结果制作下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为35岁以上成人肥胖与不经常运动有关？ 肥胖不肥胖总计经常运动员工 4060不经常运动员工24 40总计  100参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.250.100.0500.0100.0050.001k1.3232.7063.8416.6357.87910.828（2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的3人，不经常运动人群中的1人座谈，记这4人中肥胖人数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）填表如下： 肥胖不肥胖总计经常运动员工204060不经常运动员工241640总计4456100所以K2＝≈6.926，因为6.926＞6.635，所以有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关．（2）“经常运动且肥胖”的概率为＝，“经常运动且不肥胖”的概率为＝，“不经常运动且肥胖”的概率为＝，“不经常运动且不肥胖”的概率为＝，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝（）3×＝，P（X＝1）＝××（）2×+（）3×＝，P（X＝2）＝×（）2××+××（）2×＝，P（X＝3）＝（）3×+×（）2××＝，P（X＝4）＝（）3×＝，所以随机变量X的分布列为X01234P     则数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．2．随着人们生活水平的提高和对健康生活的重视，越来越多的人加入到了健身运动中．某健身房从参与健身的会员中随机抽取了100人，对其每周参与健身的天数和2020年在该健身房的消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表和统计图：平均每周健身天数不大于23或4不小于5男性会员人数203510女性会员人数10205若某人平均每周健身天数不小于5，则称其为“健身达人”．该健身房规定年消费金额不超过1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员．（1）已知金牌会员都是“健身达人”，现从这100位会员里的“健身达人”中随机抽取2人，求他们都是金牌会员的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表： 男性会员女性会员是“健身达人”  不是“健身达人”  并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关？（3）该健身机构在2020年年底针对这100位会员举办一次消费返利活动，每位会员均可参与摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张．若摸到动感单车的总次数为1，则获得50元奖励；若摸到动感单车的总次数为2，则获得100元奖励；若摸到动感单车的总次数为3，则获得200元奖励，其他情况不予奖励．规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）．试估计在此次消费返利活动中该健身机构的总支出．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.5000.2500.1000.0500.0100.005k00.4551.3232.7063.8416.6367.879解：（1）设事件A表示从这100位会员里的“健身达人”中随机抽取2人都是金牌会员，则．（2）根据题意： 男性会员女性会员是“健身达人”105不是“健身达人”5530＝，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关系．（3）设一次摸奖所获得的奖励额为X，则X的所有可能取值为0，50，100，200，且，，，，故一次摸奖获得的奖励额的期望值为，故总支出约为（28+60×2+12×3）×63.2＝184×63.2＝11628.8元．3．为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．随机地抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占．这200人所得的分数都分布在，范围内，规定分数在80以上（含的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图．（1）补全下面的列联表，并判断能否有的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关？ 拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识22  不具有很强安全意识   总计  200（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取3人，记“具有很强安全意识”的人数为，求的分布列及数学期望．附临界值表：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）200人中拥有驾驶证的占，有80人，没有驾驶证的有120人，由题意知，解得．所以具有很强安全意识的人有人，不具有很强安全意识的有160人．补全列联表如下： 拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识221840不具有很强安全意识58102160总计80120200计算得，有的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为，所以的所有可能取值为0，1，2，3．则，，，．所以的分布列为：0123故．4．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整） 使用手机不使用手机总计学习成绩优秀520 学习成绩一般   总计 3050（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）现从如表 不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为，试求的分布列与数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）完成列联表如下： 使用手机不使用手机总计学习成绩优秀52025学习成绩一般151025总计203050，没有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）现从如表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，则从学习成绩优秀中抽取人，从学习成绩一般中抽取人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为：0123数学期望．5．教育部官方数据显示，2020届大学毕业生达到844万，根据相关调查，位于大城市的应届毕业生毕业后，有会留在该城市进行就业，于是租房便成为这些毕业生的首选．为了了解应届毕业生房租支出的费用，研究人员对部分毕业生进行相关调查，所得数据如图所示．（1）求的值以及房租支出的平均值；（2）为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素，研究人员作出调查，所得数据如表所示，判断是否有的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性． 以距离上班地点的远近作为主要考虑因素以房租的高低作为主要考虑因素男生500300女生300400（3）由频率分布直方图，可近似地认为城市应届毕业生房租支出服从正态分布，，若2020年该市区的应急毕业生共有100万人，试根据本题信息估计毕业后留在该市且房租支出介于8.6百元到21.4百元之间的毕业生人数．附：参考公式：．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，，．解：（1）依题意，，解得；故；（2）在本次实验中，的观测值，故有的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性；（3）依题意，毕业后留在该市的应届毕业生人数为人，，故所求人数为．6．智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表： 经常应用偶尔应用或者不应用总计农村40  城市60  总计10060160从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．（1）补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望．附：，．0.10.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列联表， 经常应用偶尔应用或者不应用总计农村404080城市602080总计10060160（2分）．（4分）所以有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．（6分）（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则的可能取值为0，1，2．（7分），，．所以的分布列为：012（10分）的数学期望．（12分）7．某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450～950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650），[750，850）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？ 属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男   女   合计   （参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（Ⅰ）由题意知100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，样本平均数为＝500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10＝670元．（Ⅱ）由题意，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3）所以随机变量X的分布列为：X0123 P    随机变量X的数学期望E（X）＝+2×+3×＝．（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下2×2列联表：  属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计 25 75 100＝＝＞5.024，所以有97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．