大题专练训练48：随机变量的分布列（决策类）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练48：随机变量的分布列（决策类）-2022届高三数学二轮复习，共14页。
二轮大题专练48—随机变量的分布列（决策类）1．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；（2）当时，求能正常工作的设备数的分布列；（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？解：（1）要使系统的可靠度不低于0.992，则，解得，故的最小值为0.8．（2）正常工作的设备数，由题意可知，，，，，，从而的分布列为01230.0010.0270.2430.729（3）设方案1、方案2的总损失分别为，，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由（2）可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999，因为元．采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，由（1）可知计算机网络断掉的概率为0.008，元，因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2．2．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平．一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司提供了如下两种方案：方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，每次提供软件服务时，再另外收取200元．方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费；若超过15次，超过部分的软件服务每次的收费标准为500元．（1）设该管理软件服务公司月收费为y元，每月提供软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式．（2）该工厂对该管理软件服务公司近20个月每个月为另一个工厂提供软件服务的次数进行了调查统计，得到如图所示的条形图．该工厂要调查服务质量，服务次数为13次和16次的月份中任选3个月，求这3个月中恰好有1个月的服务次数为13次，2个月的服务次数为16次的概率．（3）依据条形图中统计的数据，从节约服务成本的角度考虑，以一个月管理服务费的平均值为决策依据，从两种方案中选择一种，该工厂选择哪种方案更合适？请说明理由．解：（1）由题意知方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为：y＝200x+4800，x∈N．方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：y＝（2）记选择的3个月中，恰好有1个月的服务次数为13次，2个月的服务次数为16次为事件A，由题中条形图得服务次数为13次的2个月份，分别记为A，B，服务次数分别为16次的4个月份记为a，b，c，d，从这6个月中随机选择3个月，所有可能的情况有20种，分别为：（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，B，d），（A，a，b），（A，a，c），（A，a，d），（A，b，c），（A，b，d），（A，c，d），（B，a，b），（B，a，c），（B，a，d），（B，b，c），（B，b，d），（B，c，d），（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），这3个月中恰好有1个月的服务次数为13次，2个月的服务次数为16次包含的基本事件有12种，分别为：（A，a，b），（A，a，c），（A，a，d），（A，b，c），（A，b，d），（A，c，d），（B，a，b），（B，a，c），（B，a，d），（B，b，c），（B，b，d），（B，c，d），∴这3个月中恰好有1个月的服务次数为13次，2个月的服务次数为16次的概率为P＝．（3）设方案一中管理软件服务公司的平均收费为，由已知和（1）中的结果可得＝（7400×2+7600×8+7800×2+8000×4+8200×4）＝7800（元），设方案二中管理软件服务公司的平均月收费为＝×（7600×12+8100×4+8600×4）＝7900（元），∵＜，∴从节约服务成本的角度考虑，记工厂选择方案一更合适．3．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平．一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案．方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务，每次另外收费200元；方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元．（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月求这3个月，恰好是1个13次服务、2个14次服务的概率；（3）依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由．解：（1）由题意知，方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为y＝200x+4800，x∈N，方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：y＝（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务为事件A，则P（A）＝＝．（3）对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为ξ元，由条形统计图得ξ的取值为7400，7600，7800，8000，8200，P（ξ＝7400）＝0.1，P（ξ＝7600）＝0.4，P（ξ＝7800）＝0.1，P（ξ＝8000）＝0.2，P（ξ＝8200）＝0.2，∴ξ的分布列为：ξ 7400 7600 7800 8000 8200 P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2E（ξ）＝7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2＝7800．对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为η元，由条形统计图得η的可能取值为7600，8100，8600，P（η＝7600）＝0.6，P（η＝8100）＝0.2，P（η＝8600）＝0.2，∴η的分布列为：η 7600 8100 8600 P 0.6 0.2 0.2E（η）＝7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2＝7900．∵E（ξ）＜E（η），∴从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适．4．小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元．（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（，]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50+2n单，若将频率视为概率，回答下列问题：①估计这100天中的派送量指标的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列及数学期望．请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由．解：（1）甲方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y＝100+n，n∈N，乙方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y＝，n∈N（2）①（0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5）×0.2＝0.44②所以X甲的分布列为：X甲152154156158160P0.20.30.20.20.1所以E（X甲）＝152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1＝155.4，所以X乙的分布列为：X乙140180220260P0.50.30.20.1所以E（X乙）＝140×0.5+180×0.3+220×0.2+260×0.1＝176，由以上的计算结果可以看出，E（X甲）＜E（X乙），即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案．5．某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：都在B处投篮．已知甲同学在A处投篮的命中率为，在B处投篮的命中率为．（Ⅰ）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．解：（Ⅰ）设甲同学在A处投中为事件A，在B处第次i投中为事件Bi（i＝1，2），由已知．X的取值为0，2，3，4．则，，，，X的分布列为：X0234PX的数学期望为：，（Ⅱ）甲同学选择方案1通过测试的概率为P1，选择方案2通过测试的概率为P2，则，，∵P2＞P1，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．6．2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p（0＜p＜1），若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和1﹣p．（1）记X（单位：百万元）为投资项目一盈利额，求E（X）（用p表示）；（2）试以项目盈利的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．解：（1）由题意，记为盈利的田坑院个数，则X1～B（20，p），则盈利的田坑院数的均值E（X1）＝20p，故盈利的均值为E（X）＝E（0.08X1）＝0.08E（X1）＝0.08×20p＝1.6p；（2）记X2为投资项目二盈利额，则X2的分布列为：X22﹣1.2PP1﹣p盈利的均值E（X2）＝2p﹣1.2（1﹣p）＝3.2p﹣1.2．①当E（0.08X1）＝E（X2）时，1.6p＝3.2p﹣1.2，解得p＝，故两个项目均可投资；②当E（0.08X1）＞E（X2）时，1.6p＞3.2p﹣1.2，解得0＜p＜，此时选择项一；③当E（0.08X1）＜E（X2）时，1.6p＜3.2p﹣1.2，解得p＞，此时选择项二．7．某智能机器人生产企业对一次性购买4台机器人的客户，推出了3种超过质保期后延期2年内维修优惠方案：方案1：不交维修延保金，维修1次费用6000元；方案2：交纳延保金3000元，维修费用每次3000元；方案3：交纳延保金5000元，在延保期内总共免费维修2次，超过2次每次维修费用2000元．通过大数据得知，每台智能机器人在2年延保期内没有故障的概率为，每台机器人出现1次故障的概率为．记X表示这4台智能机器人超过质保期后延保的2年内，共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以3个方案所需费用（所交延保金及维修费用之和结果，保留为整数）的期望值作为决策依据，客户选择哪种延保方案更合算？请说明理由．解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝××（）2＝，P（X＝3）＝××（）3＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列为X 012 34 P     （2）选择延保方案1，所需费用Y1元的分布列为：Y1 0600012000 1800024000 P     E（Y1）＝0×+6000×+12000×+18000×+24000×＝8000，选择延保方案2，所需费用Y2元的分布列为：Y2 300060009000 1200015000 P     选择延保方案3，所需费用Y3元的分布列为： Y3 5000 7000 9000 P   E（Y3）＝5000×+7000×+9000×≈5247，E（Y3）＜E（Y2）＜E（Y1），所以客户选择第3种延保方案更合算．8．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农民脱贫致富的好产品．为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了100个白凤桃进行测重，其质量分布在区间[200，500]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在[350，400），[400，450）的白凤桃中随机抽取5个，再从这5个白凤桃中随机抽2个，记这2个白凤桃质量落在[350，400）间的个数为随机变量X，求X的分布列；（Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的白凤桃树上大约还有100000个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案：A．所有白凤桃均以20元/千克收购；B．低于350克的白凤桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．（参考数据：225×0.05+275×0.16+325×0.24×0.3+425×0.2+475×0.05＝354.5）（Ⅰ）由题得白凤桃质量在[350，400）和[400，450）的比例为3：2，∴应分别在质量为[350，400）和[400，450）的白凤桃中各抽取3个和2个．记抽取质量在[350，400）的白凤桃为A1，A2，A3，质量在[400，450）的白凤桃为B1，B2，则从这5个白凤桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为．（Ⅱ）方案B好，理由如下：由频率分布直方图可知，白凤桃质量在[200，250）的频率为50×0.001＝0.05，同理，白凤桃质量在[250，300），[300，350），[350，400），[400，450），[450，500）的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05若按方案B收购：∵白凤桃质量低于350克的个数为（0.05+0.16+0.24）×100000＝45000个白凤桃质量不低于350克的个数为55000个∴收益为45000×5+55000×9＝720000元若按方案A收购：根据题意各段白凤桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为（225×5000+275×16000+325×24000+375×30000+425×20000+475×20000+475×5000）×20÷1000＝709000（元）∴方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B．