大题专项训练12：数列（证明不等式）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练12—数列（证明不等式）1．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）若有，求证：．解：（Ⅰ）由题意，当时，，即，化简整理，得，解得（舍去），或，当时，由，可得，两式相减，可得，化简整理，得，将代入，可得，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，化简整理，得，也满足上式，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，；（Ⅱ）证明：，所以，故．2．已知正项数列的前项和为，．（1）计算，，，猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明数列的通项公式；（3）证明不等式对任意恒成立．解：（1）正项数列的前项和为，，当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，于是可猜想；证明：（2）①当时，显然成立，②假设当时成立，即，那么时，，，，即，，当时也成立，由①②可得；证明：（3），，，问题得以证明．  3．已知数列的前项和为，满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：对任意，都有．解：（Ⅰ）数列的前项和为，满足，①，当时，②，①②得：③，当时，④，所以（常数），所以数列和数列都为等差数列；所以．证明：（Ⅱ）由于数列满足2，，4，1，6，3，8，5，，当为偶数时，所以，由于，则，同理，故．当为奇数时，则为偶数，．4．已知数列的前项和为，满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：对任意，都有．解：（Ⅰ）数列的前项和为，满足，①，当时，②，①②得：③，当时，④，所以（常数），所以数列和数列都为等差数列；所以．证明：（Ⅱ）由于数列满足2，，4，1，6，3，8，5，，当为偶数时，所以，由于，则，同理，故．当为奇数时，则为偶数，．5．已知数列满足．（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，，证明：．证明：（1）①，②，由得：，即，，，，又当时，有，解得：，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，；（2）由（1）可得：，，．6．已知正项数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，，求证：．（1）解：由，，可得：，，两式相减得：，即，，，，，又当时，有，解得：，数列是首项为，公差为1的等差数列，；（2）证明：由（1）可得：，，又，，．7．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．解：（1）数列满足①，当时，②，①②，得，化简，得（常数），当时，解得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．所以．（2）由（1）得，所以．8．已知正项数列的首项，其前项和为，且与等比中项是，数列满足：．（Ⅰ）求，，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，，证明：．解：（Ⅰ）由与等比中项是，得，①分别取，2，得，，解得，．于是有，②联立①②可得．又，，；证明：（Ⅱ）依题意，，当时，，两式相减即得．令外，也符合上式，，则．．9．已知数列的前项和为，且．公比大于0的等比数列的首项为，且．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）若，求证：，．解：（Ⅰ）由题意，当时，，当时，，当时，也满足上式，，．设等比数列的公比为，则，，故，整理，得，解得（舍去），或，，．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，当时，，即，，，当时，，，．，．10．正项数列中，前项和为，且，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，，证明．解：（1）由，得，，，是首项为公差为的等差数列，，，，对也成立，；（2）证明：，，，两式相减，得，所以，，下面证明，，，单调递增，，