大题专项训练17：立体几何（探索性问题）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练17—立体几何（探索性问题）1．如图1，，是以为直径的圆上两点，且，，将所在的半圆沿直径折起，使得点在平面上的射影在上，如图2．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：是圆的直径，．平面，平面，．又，，平面，平面．平面，．又，，平面．（2）解：连接，平面，，平面，，．在和中，由得，在中，由，得，，在中，，是的三等分点，且．在线段上存在点，使得，则有．平面，平面，平面．故在线段上存在点，使得平面，此时．2．如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：在中，，，，有，可得，又，，可得平面，即有，由四边形是边长为的正方形，可得，而，可得平面，又平面，则平面平面；（2）在线段上存在点，使得，且．理由如下：由（1）可得，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，，，0，，，1，，，0，，，0，，设，，，，所以，，，，，解得，，，所以，，，，1，，要使，则需，即，解得．故线段上存在点，使得，且．3．如图，在三棱锥中，底面，，是棱的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，且棱上有一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置，并求三棱锥的体积．（1）证明：底面，，，又为的中点，，，，、平面，平面，平面，平面平面．（2）解：，，，底面，，，，设点到平面的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，，，，，即，解得，，点为的四等分点，且，三棱锥的体积．4．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足（如图（1），将沿折起到△的位置，使面面，连接，（如图（2）．（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．解：（1）证明：题图（1）中，由已知可得：，，，从而，故得，所以，，所以题图（2）中，，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．（2）存在．由（1）知，平面．以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图：，0，，，0，，，0，，，，，，0，，，0，，所以，0，，，0，，，，，，，所以，所以．5．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，且，，．（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由；（3）若是棱的中点，为线段上任意一点，求证：与一定不平行．解：（1）证明：由平面平面，平面平面，且，可得平面；（2）线段上假设存在点，使得平面，设，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，过垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，由四边形为直角梯形，且，，可得，且，，，可得，，，，，，，0，，，0，，，2，，，1，，，3，，，1，，，，，设平面的法向量为，，，平面的法向量为，，，由可得，可取，则，，，由，可得，取，可得，，，由题意可得，解得，则，所以存在，且；（3）证明：假设与平行，取的中点，连接，由为的中位线，可得，可得过存在两条直线，与平行，这与过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，矛盾，故与一定不平行．6．如图，在正四棱柱中，为的中点，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．（1）证明：以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，，则，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，，即，，又，平面．（2）解：由（1）可知，，为平面的一个法向量，设线段上存在点，使得平面，不妨设，，，又，，，，，，，，，平面，，，解得，线段上存在点，使得平面，且．7．如图，在三棱锥中，平面，是等边三角形，点，分别为，的中点，，．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：平面，平面，平面平面．，为的中点，．又平面平面，平面，平面，又平面，平面平面．（2）解：平面，，又点，分别为，的中点，所以，从而．又由于平面，，，所以，，两两互相垂直．以为坐标原点，分别以，，方向为，，轴正方向建立如图坐标系．由于，，，，，，，，1，，于是，．设平面的法向量，则，取，则，，于是．，设，，，则．由或（舍去）．故存在满足条件的点，点是线段的中点．8．如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设．若直线与平面所成的角为，求线段的长；在线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由．解：证明：平面，平面又，平面又平面，平面平面以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）在平面内，作交于点，则在中，，设，则，0，，，0，由，得，所以，，，，，，，，，设平面的法向量为，，由，，得取，得平面的一个法向量为又，故由直线与平面所成的角为得即解得或（舍去，因为所以假设在线段上存在一个点到、、、的距离都相等由，得从而，即所以设，则，在中，这与矛盾．所以在线段上不存在一个点，使得点到、、的距离都相等．从而，在线段上不存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等．9．如图，在三棱柱中，平面，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；（Ⅲ）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值．解：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，平面，，．，，，，平面，平面，，，平面．（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，，，设异面直线与所成角为，则，．异面直线与所成角的大小为．（Ⅲ）解：，2，，，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，点在线段上，且，点在线段上，设，，，，，，，则，，，即，0，，，，，，，，，解得，0，，，，，，，，平面，，解得．的值为．