大题专项训练18：立体几何（折叠问题）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练18—立体几何（折叠问题）1．如图①，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起（如图②，使得平面平面．（1）判断是否与垂直，并说明理由．（2）图②中，在平面内过点作，为垂足，求的取值范围．解：（1）与不垂直．证明过程如下：若，，，、平面，平面，，，平面平面，平面平面，平面，平面，，又，、平面，平面，，在翻折后的中，这是不可能的，故与不垂直．（2）设，，则，，平面平面，平面平面，平面，平面，，由勾股定理知，，，，，化简整理得，，在上单调递增，，故的取值范围为，．2．如图1，已知菱形的对角线，交于点，点为的中点．将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试问平面与平面所成的二面角是否为，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）在线段，上是否分别存在点，，使得平面平面？若存在，请指出点，的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：折叠前，四边形是菱形，，折叠后，，，，平面，平面，．（Ⅱ）解：平面与平面所成的二面角为．证明如下：四边形是菱形，，，又点为的中点，，，四边形是平行四边形，，由（Ⅰ）得，平面，平面，平面，平面平面，平面与平面所成的二面角为．（Ⅲ）解：在线段，上是分别存在点，，且，分别是，的中点，使得平面平面．证明如下：如图，分别取，的中点，，连结，，，，四边形是平行四边形，，，在中，，分别是，的中点，，、分别是、的中点，四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，又，平面，，，平面，平面平面．3．如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将三角形沿线段折起到的位置，（如图．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，在中，由余弦定理可得，，所以，因为，，所以，又，面，面，所以面，又面，所以面面；（Ⅱ）存在，满足，使得平面．证明：取的三等分点，且，连接，则，且，所以四边形为平行四边形，可得，又，所以，又，面，面，所以面，同理可得面，又，所以面面，面，可得面．4．如图，在等腰梯形中，，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置平面．（1）若为直线上任意一点，证明：平面；（2）若直线与所成角为，求三棱锥的表面积．解：（1）证明：连接．，，分别是，，的中点，，平面，平面，平面，同理平面，平面，平面，，平面平面，平面，平面．（2）解：在等腰梯形中，作于，于，由题意得，，，，与互补，，在中，，，，，为锐角，为直线与所成角，，为等腰直角三角形，三棱锥的表面积为：．5．如图，已知图1中是等腰三角形，，，分别是，的中点，沿着把折起到△，使得平面平面，图2中，，为的中点，连接．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥的侧面积．（Ⅰ）证明：取中点，连接，，由点、分别是，的中点，得，，又，．所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因为是等腰三角形，，，，所以，所以是等腰直角三角形，且．分别取、的中点、，连接，，，从而有．又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，又翻折后，，在△中，，四棱锥的侧面积为：．6．如图，平行四边形中，，，分别为，的中点．以为折痕把四边形折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且．（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离．解：（1）证明：记，连结，由题意知四边形是菱形，，且是、的中点，，，，平面，平面，平面，平面，平面平面．（2）解：由（1）知，且，平面，平面，平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，0，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，，，0，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，则点到平面的距离为：． 7．如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．若AB＝AE＝2，CD＝5，DE＝1，将梯形ABCD沿AE，BF折起，且平面ADE⊥平面ABFE（如图2）．（Ⅰ）证明：AF⊥BD；（Ⅱ）若CF∥DE，在线段AB上是否存在一点P，使得直线CP与平面ACD所成角的正弦值为，若存在，求出AP的值，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：∵平面ADE⊥平面ABFE，DE⊂平面ADE，平面ADE∩平面ABFE＝AE，DE⊥AE，∴DE⊥平面ABFE，又AF⊂平面ABFE，∴DE⊥AF，又正方形ABFE中，AF⊥BE，且BE∩DE＝E，DE⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，∴AF⊥平面BDE，∵BD⊂平面BDE，∴AF⊥BD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE、EA、EF两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵CF∥DE，CF⊥平面ABFE，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，2），D（0，0，1），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，2，2），设平面ACD的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，2），设P（2，t，0），且0≤t≤2，则＝（2，t﹣2，﹣2），设直线CP与平面ACD所成角为θ∵在线段AB上存在一点P，使得直线CP与平面ACD所成角的正弦值为，∴sinθ＝＝＝，解得t＝1或t＝﹣（舍）．∴AP＝1．8．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，以BE为折痕把△ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C＝1，如图2．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）求二面角C﹣A1B﹣E的余弦值．证明：（1）在图（1）中，∵AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，∴四边形ABCE为正方形，∴BE⊥AC，AO＝OC，即在图2中，A1O⊥BE，BE⊥OC，A1O＝OC＝，∵A1C＝1，∴在△A1OC中，+OC2＝，∴A1O⊥OC，∴A1O⊥平面BCDE，∵A1O⊂平面A1BE，∴平面A1BE⊥平面BCDE．解：（2）由（1）知OA1，OB，OC互相垂直，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，∴O（0，0，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），∴＝（﹣，，0），＝（0，，﹣），＝（0，，0），设平面A1BC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），由（1）得平面A1BE⊥平面BCDE，且OC⊥BE，∴OC⊥平面A1BE，∴＝（0，，0）是平面A1BE的法向量，设二面角C﹣A1B﹣E的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣A1B﹣E的余弦值为．