(实用性答案】2021-2022学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第一次月考数学试卷

这是一份(实用性答案】2021-2022学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第一次月考数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第一次月考数学试卷（学生版）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．-7的倒数是（　　）

A．7 B．-7 C． D．-

2．下列四幅图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D.

3．下列运算正确的是（　　）
A．（3a2）3=9a6 B．a2．a4=a8 C．-x6÷x3=-x3 D．（-）-3=a3

4．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AA′=2：5，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（　　）

A．2：3 B．4：3 C．2：9 D．4：9

5．估计3-2的运算结果应在（　　）
A．3.0和3.5之间 B．3.5和4.0之间
C．4.0和4.5之间 D．4.5和5.0之间

6．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

7．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出M的值为5，那么输入x的值为（　　）

A．-8 B．-2 C．1 D．8

8．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）


9．已知甲骑自行车，乙骑摩托车，他们沿相同路线由A地到B地．行驶的路程y（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（　　）

A．A、B两地的路程为80千米
B．甲的速度是10千米/小时，乙的速度是40千米/小时
C．乙距A地40千米处追及到甲
D．当甲乙相距10千米时甲行驶的时间为小时

10．如图，AB是⊙O的直径，线段DC是⊙O的弦，连接AC、OD，若OD⊥AC于点E，∠CAB=30°，CD=3，则阴影部分的面积为（　　）

A．π B．π C．3π D．π

11．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞5，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

12．如图，等边△ABC边长为4，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1．B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE=（　　）
A．2 B．6-2 C．-1 D．3-

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．（-）-3+（-1）0-tan30°= ________.
14．有四张完全相同且不透明的的卡片，正面分别标有数字-1，-2，1，2．将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，则函数y=ax与函数y=没有交点的概率是 ______.


15．如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，tan∠D=，则BC的长为 ______.


16．2022年北京冬奥会正在火热举办中，冰雪项目中高质量的“人造雪”受到人们的广泛关注，它的生产实际上是一个科学技术难题：要首先通过过滤装置将自然水过滤成纯净的水，接着用制冰装置将纯净的水制成片状的纯冰，再通过碎冰装置把已经造好的纯冰粉碎成粉末，最后，通过把粉末状的冰晶和空气等原料混合加工成“人造雪”．现有若干千克自然水和100千克纯冰，准备将它们加工成人造雪，共8名技术人员，分为甲、乙两组同时工作，甲组负责自然水提纯后加工成纯冰，乙组负责将纯冰加工成人造霄．已知甲组人员每人每小时可将10千克自然水加工成5千克纯冰，乙组人员每人每小时可将10千克纯冰加工成20千克人造雪（不考虑冰雪融化及其他损耗）；若加工t小时（t为整数）后，纯冰质量与人造雪的质量之比为1：8；又加工了几个小时后，自然水全部使用完：接着继续将所有纯冰都加工成人造雪，一共加工产生了800千克人造雪：当自然水正好全部使用完，此时纯冰质量与人造雪质量之比为_______．

三、解答题（本大题9小题，17-18每题8分，19-25题每题10分，共86分）

17．计算：
（1）（x-y）2-（y+2x）（y-2x）；
（2）


18．如图，AD∥BE，AC平分∠BAD，且交BE于点C．
（1）作∠ABE的角平分线交AD于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．


19．据应急管理部网站消息，2021年，我国自然灾害形势复杂严峻，洪水、地震等不仅给人们的财产带来巨大损失，更是威胁着人们的生命安全．某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．
并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%，
八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74.75，75．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：

【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：


平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
72

（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．



20．5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔MN建在了山坡BC的平台CD上，已知山坡BC的坡度为1：2.4．眼睛距地面1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是37°．向前步行6米到达B处，再延斜坡BC步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是50°．若A．B、C、D、M、N在同一平面内，且A、B和C、D、N分别在同一水平线上．
（1）求平台CD距离地面的高度；
（2）求发射塔MN的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）


21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OA=，点E为x轴负半轴上一点，且cos∠AOE=．
（1）求k和b的值；
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式-x+b−＞0的解集．

22．某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍．
（1）若“亲子两人游”套票的预售额为21000元，“家庭三人行”套票的预售额为10500元，且“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游“套票的价格．
（2）套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售的火爆，景区决定将“亲子两人行”套票的价格在（1）中价格的基础上增加a元，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人行”套票票价上增加了a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a的值．


23．对于一个三位数m，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等．则称这样的数为“行知数”．将“行知数”m
任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数．将这6个两位数的和记为D（m）．
例如，D（235）=23+25+35+32+52+53=220．
（1）计算：D（123）______________；
（2）求证：D（m）能被22整除；
（3）记F（m）=，例如F（235）==10．若“行知数”n满足个位上的数字是百位上数字的3倍，且F（n）除以7余1，请求出所有满足条件的“行知数”n的值．


24．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，新抛物线y1和原抛物线相交于点F．新抛物线y1的顶点为点G，点M是直线FG上的一动点，点N为平面内一点．若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程．



25．正方形ABCD，点E在边BC上，连AE．
（1）如图1，若tan∠EAC=，AB=4，求EC长；
（2）如图2，点F在对角线AC上，满足AF=AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上（不与端点重合），连接AH．若∠EAH=45°，求证：EC=HG+FC；
（3）如图3，在（1）的条件下，点G是AD中点，点H是直线CD上的一动点，连GH，将△DGH沿着GH翻折得到△PGH，连PB交AE于Q，连PA、PD，当最小值时，请直接写出△PAD的面积．







2021-2022学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第一次月考数学试卷（教师版）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）

1．-7的倒数是（　　）

A．7 B．-7 C． D．-
【答案】D

2．下列四幅图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D.
【答案】B

3．下列运算正确的是（　　）
A．（3a2）3=9a6 B．a2．a4=a8 C．-x6÷x3=-x3 D．（-）-3=a3
【答案】C

4．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AA′=2：5，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（　　）

A．2：3 B．4：3 C．2：9 D．4：9

【答案】A
5．估计3-2的运算结果应在（　　）
A．3.0和3.5之间 B．3.5和4.0之间
C．4.0和4.5之间 D．4.5和5.0之间
【答案】A

6．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

【答案】D
7．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出M的值为5，那么输入x的值为（　　）

A．-8 B．-2 C．1 D．8

【答案】A
8．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）

【答案】B

9．已知甲骑自行车，乙骑摩托车，他们沿相同路线由A地到B地．行驶的路程y（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（　　）

A．A、B两地的路程为80千米
B．甲的速度是10千米/小时，乙的速度是40千米/小时
C．乙距A地40千米处追及到甲
D．当甲乙相距10千米时甲行驶的时间为小时

【答案】D
10．如图，AB是⊙O的直径，线段DC是⊙O的弦，连接AC、OD，若OD⊥AC于点E，∠CAB=30°，CD=3，则阴影部分的面积为（　　）

A．π B．π C．3π D．π

解：连接OC，

∵OD⊥AC于E，∠CAB=30°，OA=OC，
∴∠OCA=30°，
∴∠COD=∠CEO-∠OCE=90°-30°=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OD=CD=3，
在Rt△AOE和Rt△COE中，，
∴Rt△AOE≌Rt△COE（HL），
∴S阴影=S扇形COD=.
故选：B．



11．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞5，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C


12．如图，等边△ABC边长为4，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1．B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE=（　　）
A．2 B．6-2 C．-1 D．3-


解：如图所示．

∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，
∴∠1=∠2=30°，
∵点O是边长为4的等边△ABC的内心，
∴∠OBC=∠B1=∠3=30°，OB=4，
∴∠1=∠3，∠2=∠B1，
∴OC1∥BC，OB∥C1D，
∵OB=OB1=OC=OC1，
∴四边形OBDC1是菱形，
∴BD=OB=4，
∴CD=4-4，
∵∠ACB=60°，∠EDC=∠OBC=30°，
∴∠DEC=90°，
∴cos∠EDC=cos30°=，
∴DE=CD=（4-4）=6-2．
故选：B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．（-）-3+（-1）0-tan30°= ________.
【答案】-7-．

14．有四张完全相同且不透明的的卡片，正面分别标有数字-1，-2，1，2．将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，则函数y=ax与函数y=没有交点的概率是 ______.
【答案】
15．如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，tan∠D=，则BC的长为 ______.

解：∵点A是劣弧BC的中点，
∴OA⊥BC，
∵tan∠D=∴∠D=30°，
∴∠AOC=2∠D=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OC=AC=6，
∴BC=2×6×sin60°=2×6×=6，
故答案为：6．

16．2022年北京冬奥会正在火热举办中，冰雪项目中高质量的“人造雪”受到人们的广泛关注，它的生产实际上是一个科学技术难题：要首先通过过滤装置将自然水过滤成纯净的水，接着用制冰装置将纯净的水制成片状的纯冰，再通过碎冰装置把已经造好的纯冰粉碎成粉末，最后，通过把粉末状的冰晶和空气等原料混合加工成“人造雪”．现有若干千克自然水和100千克纯冰，准备将它们加工成人造雪，共8名技术人员，分为甲、乙两组同时工作，甲组负责自然水提纯后加工成纯冰，乙组负责将纯冰加工成人造霄．已知甲组人员每人每小时可将10千克自然水加工成5千克纯冰，乙组人员每人每小时可将10千克纯冰加工成20千克人造雪（不考虑冰雪融化及其他损耗）；若加工t小时（t为整数）后，纯冰质量与人造雪的质量之比为1：8；又加工了几个小时后，自然水全部使用完：接着继续将所有纯冰都加工成人造雪，一共加工产生了800千克人造雪：当自然水正好全部使用完，此时纯冰质量与人造雪质量之比为_______．
解：设有x人在甲组，则有（8-x）人在乙组，t小时后，有纯冰的质量为：5tx+100-10t（8-x）=15tx-80t+100（千克），
根据题意可得：（15tx-80t+100）：[20t（8-x）]=1：8，
解得：x=，
∵x，t都是正整数（x＜8），且40不能被7整除，
∴40能被t整除，t-1能被7整除，
∴t=8，x=5，
∴8-x=3，
因此甲组有5人，乙组有3人，
∵生产700千克人造雪需要纯冰的质量为：700÷20×10=350（千克），原有纯冰100千克，
∴自然水加工而成的纯冰的质量为：350-100=250（千克），
∴甲组生产纯冰的总时间为：250÷5÷5=10（小时），自然水用完时，乙组共生产的人造雪的质量为：10×3×20=600（千克），此时还剩下的纯冰的质量为：100+250-600÷20×10=50（千克），
∴此时纯冰与人造雪的质量比为：50：600=1：12=，
故答案为：．

三、解答题（本大题9小题，17-18每题8分，19-25题每题10分，共86分）

17．计算：
（1）（x-y）2-（y+2x）（y-2x）；
（2）
【答案】（1）5x2-2xy．
（2）．


18．如图，AD∥BE，AC平分∠BAD，且交BE于点C．
（1）作∠ABE的角平分线交AD于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．

【解答】（1）解：如图，BF为所作；

（2）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠FAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC，
同理可得AB=AF，
∴AF=BC，
而AF∥BC，
∴四边形ABCF为平行四边形，
∵BA=BC，
∴四边形ABCF是菱形．

19．据应急管理部网站消息，2021年，我国自然灾害形势复杂严峻，洪水、地震等不仅给人们的财产带来巨大损失，更是威胁着人们的生命安全．某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．
并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%，
八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74.75，75．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：

【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：


平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
72

（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．

解：（1）由题干数据可知a=（73+73）÷2=73，
（1-32%-32%-4%）÷2=16%，
∴m=16，
七年级D等级的学生人数为：50×20%=10（人），E等级的学生人数为：50-10-12-16-10=2（人），
补全条形统计图如图：

答：a=74，m=16；
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
（3）1800×+1700×2×16%
=792+544
=1336（人）．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人．


20．5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔MN建在了山坡BC的平台CD上，已知山坡BC的坡度为1：2.4．眼睛距地面1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是37°．向前步行6米到达B处，再延斜坡BC步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是50°．若A．B、C、D、M、N在同一平面内，且A、B和C、D、N分别在同一水平线上．
（1）求平台CD距离地面的高度；
（2）求发射塔MN的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）


【解答】（1）解：如图，过点Q作QP⊥MN于P，过点F作FE⊥MN于E，

∵山坡BC的坡度为1：2.4，BC=6.5米，
设CG=x，则BG=2.4x，
∴x2+（2.4x）2=6.52，
解得x=，
∴CG=HN=米，BG=6米，
（2）解：∵CG=HN=米，BG=6米，
∴AG=12米，
由题意知∠MQP=37°，∠MFE=50°，
设EF=a米，则PQ=AH=（a+12）（米），
∵tan50°=≈1.20，
∴ME=1.2a，
∵tan37°=≈0.75，
∴MP=（a+12），
∵ME+EN+NH=MP+PH，
∴1.2a+1.6+=（a+2）+1.6，
解得a=米，
∴MN=1.2a+1.6≈18.9（米）．

21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OA=，点E为x轴负半轴上一点，且cos∠AOE=．
（1）求k和b的值；
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式-x+b−＞0的解集．


解：（1）如图1，

过点A作AH⊥x轴于H，
∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，OA=，
∴cos∠AOE=，
∴OH=2，
根据勾股定理得，AH=3，
∴A（-2，3），
将点A（-2，3）代入双曲线y=中，k=-6，
∴双曲线的解析式为y=-，
将点A（-2，3）代入直线y=-x+b中，得，-×（-2）+b=3，
∴b=，
∴直线AB解析式为y=-x+，

（2）由（1）知，直线AB的解析式为y=-x+①，双曲线的解析式为y=-②，
联立①②解得，（点A坐标）或，
∴B（4，-），
∵点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，
∴CF=4，
∴S△ABF=×4×（4+2）=12；

（3）由（1）（2）知，A（-2，3），B（4，-），
∴不等式-x+b−＞0的解集为x＜-2或0＜x＜4时，

22．某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍．
（1）若“亲子两人游”套票的预售额为21000元，“家庭三人行”套票的预售额为10500元，且“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游“套票的价格．
（2）套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售的火爆，景区决定将“亲子两人行”套票的价格在（1）中价格的基础上增加a元，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人行”套票票价上增加了a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a的值．
解：（1）设“亲子两人游“套票的价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格为2x元，
依题意得：=450，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解，且符合题意．
答：“亲子两人游“套票的价格为35元．
（2）依题意得：（35+a）（1600-32a）+（35×2+a）×400=35×1600+35×2×400，
整理得：24a2-480a=0，
解得：a1=20，a2=0（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．


23．对于一个三位数m，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等．则称这样的数为“行知数”．将“行知数”m
任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数．将这6个两位数的和记为D（m）．
例如，D（235）=23+25+35+32+52+53=220．
（1）计算：D（123）______________；
（2）求证：D（m）能被22整除；
（3）记F（m）=，例如F（235）==10．若“行知数”n满足个位上的数字是百位上数字的3倍，且F（n）除以7余1，请求出所有满足条件的“行知数”n的值．

解：（1）根据题意知：
D（123）=12+21+13+31+23+32=132，
故答案为：132．
（2）设行知数m=100a+10b+c，
∴．D（m）=10a+b+10a+c+10b+c+10b+a+10c+a+10c+b
=22a+22b+22c=22（a+b+c），
故D（m）能被22整除；
（3）设行知数n=100x+10y+3x，
∴D（m）=22（a+b+c），
F（m）==a+b+c，
D（n）=22（x+y+3x）
=22（4x+y）
∴F（n）=4x+y，
∵1≤x≤9，1≤3x≤9，
∴1≤x≤3，1≤y≤9，
∴5≤4x+y≤21，
∵F（n）除以7余1，
∴4x+y=8或者15，
∵1≤x≤3，
∴x=1、2或3，4x+y=8或者15，y为正整数，且x，y，3x均不相等，
当x=1，y=4时，这个行知数为143，
当x=2，y=7时，这个行知数为276，
∴所有满足条件的行知数为143和276．


24．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，新抛物线y1和原抛物线相交于点F．新抛物线y1的顶点为点G，点M是直线FG上的一动点，点N为平面内一点．若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程．


解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）如图，过点E作x轴的平行线，过点P作PJ⊥x轴于J，并与过E点的平行线交点H，过点B作BK⊥EH的延长线于K，

则可得四边形HKBJ为矩形，
由（1）可得C（0，3），
则有Rt△AOC中，CO=3，OA=1，AC=，
∵AC∥DP，EK∥x轴，KB⊥x轴，CO⊥x轴，
∴∠CAO=∠PDJ=∠PEH，∠OCB=∠EBK，
∴sin∠CAO＝sin∠PEH＝，cos∠OCB＝cos∠EBK＝，
∴，，
∴PH=PE，BK＝BE，
∴PE+BE=PH+BK=PH+HJ=PJ，
∵当P在抛物线的顶点时，有PJ的最大值，
∴当P在抛物线顶点时，有PE+BE最大值，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
求得抛物线的顶点坐标为（1，4），
∵当P点坐标为（1，4）时，PJ=4，
∴当PE+BE最大时，P点坐标为（1，4），
∴PE+BE=2•（PE+BE）=8，此时点P的坐标为（1，4）．
（3）∵抛物线沿射线CA方向平移个单位得到新的抛物线y1，且CA=，
∴平移之后原来的C点到了A点的位置，
∴原抛物线的平移可看作先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，
∵新抛物线的解析式为y1＝−(x+1)2+2(x+1)+3−3＝−x2+1，
∴y1的顶点坐标为G（0，1），
∵-x2+1=-x2+2x+3，
解得x=-1，
则-x2+1=0，
∴F（-1，0），
①当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（PG=PN）：

∵M为平面内任意一点，
∴此情况时，只要求PN=PG即可，
∵F（-1，0），G（0，1），
∴可求出FG的解析式为y=x+1，
∴设N（n，n+1）
∵P（1，4），G（0，1），PG=PN，
∴PG=，
求得n=4，
∴n+1=5，
∴N坐标为（4，5）．
②当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP=GN）：

同理①可求出N（−，−+1），
③当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP=GN）：

同理①可求出N（，+1），
④当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（NP=NG）：

同理①可求出N（，），
综上所述，N坐标为（4，5）或（−，−+1）或（，+1）或（，）．


25．正方形ABCD，点E在边BC上，连AE．
（1）如图1，若tan∠EAC=，AB=4，求EC长；
（2）如图2，点F在对角线AC上，满足AF=AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上（不与端点重合），连接AH．若∠EAH=45°，求证：EC=HG+FC；
（3）如图3，在（1）的条件下，点G是AD中点，点H是直线CD上的一动点，连GH，将△DGH沿着GH翻折得到△PGH，连PB交AE于Q，连PA、PD，当最小值时，请直接写出△PAD的面积．


【解答】 （1）解：如图1，

作EF⊥AC于F，
在正方形ABCD中，
BC=AB=4，∠ACB=45°，AC=AB＝4，
设CE=2x，BE=4-2x，
在Rt△CEF中，
EF=CF=x，
∴AF=AC-CF=4-x，
在Rt△AEF中，
∵tan∠CAE=，
∴，
∴x=1，
∴CE=2x=2；
（2）证明：如图2，

连接AG，延长GF交BC于P，连接AP，
在正方形ABCD中，
∠ACB=∠ACD=45°，∠BAC=45°，
∵CF⊥FG，
∴∠CFP=∠CFG=90°，
∴∠CGF=∠CPF=45°，
∴CP=CG，
∴PF=FG，
∴AC是PG的垂直平分线，
∴AP=AG，
∵∠BAC=∠EAH=45°，
∴∠BAC-∠EAF=∠EAH-∠EAF，
即：∠BAE=∠FAH，
在△ABE和△AFH中，

∴△ABE≌△AFH（AAS），
∴AE=AH，
在△ABP和△AFG中，∠ABP=∠AFH=90°，
，
∴Rt△ABP≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAP=∠FAG，
∴∠BAP-∠BAE=∠FAG-∠FAH，
即：∠EAP=∠HAG，
在△EAP和△HAG中，

∴△EAP≌△HAG（SAS），
∴EP=GH，
在Rt△CPF中，
CP=FC，
∴CE=EP+CP=GH+FC；
（3）解：如图3，

作PK∥BC，交AE于K，
∴△PKQ∽△BEQ，

∵PG=DG=2，
∴点P在P在以G为圆心，2为半径的圆上，
作P′W∥AE，切⊙G于P′，交AD的延长线于W，
∴当点P运动到P′时，最小，∠AWP′=∠DAE，
作P′T⊥AD于T，连接GP′，
∴GP′⊥P′W，
∴∠AWP′+∠WGP′=90°，
∵∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠WGP′=∠BAE，
在Rt△GWP′中，
WP′=GP′•tan∠WGP′=2•tan∠BAE=2×=1，
在Rt△P′WT中，P′W=1，∠AWP′=∠DAE=∠AEB，
P′T=WP′•sin∠AWP′=sin∠AEB=，
∴S△PAD=AD•P′T=×4×．