人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课堂检测

第七章  随机变量及其分布

7.3.1离散型随机变量的均值

1.已知X的分布列如图：则Y＝4X+1的数学期望E（Y）等于（　　）

A．   B．1 C． D．

【答案】C

【解析】由分布列的性质可知，，解得a＝，

∴E（X）＝．∵Y＝4X+1，

∴E（Y）＝4E（X）+1＝．故选：C．

2. 设ξ的分布列为

又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，

E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.

3. 已知a，b为实数，随机变量X，Y的分布列如下：

若E（Y）＝P（Y＝﹣1），随机变量ξ满足ξ＝XY，其中随机变量XY相互独立，则E（ξ）取值范围的是（　　）

A． B． 

C．[，1] D．

【答案】B

【解析】E（Y）＝P（Y＝﹣1），∴﹣a+c＝a，又a+b+c＝1，解得：c＝2a，b＝1﹣3a．

∵0≤a，b，c≤1．∴0≤a≤．

随机变量ξ满足ξ＝XY，其中随机变量XY相互独立，

E（X）＝﹣+0+＝﹣．E（Y）＝c﹣a＝a．

则E（ξ）＝E（X）E（Y）＝﹣a∈．

故选：B．

4. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】记X为同时取出的两个球中含红球的个数，则

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

5. 今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于(　　)

A.0.765   B.1.75

C.1.765   D.0.22

【答案】B

【解析】P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；

P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.

∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.

6. 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的均值是(　　)

A.  B.

C.    D.

【答案】B

【解析】试验次数ξ的可能取值为1,2,3，

则P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝2)＝×＝，

P(ξ＝3)＝××.

所以ξ的分布列为

∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

7．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　)

A.    B.

C.  D.

【答案】B

【解析】125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，

∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝＝.

8.甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是

据此判定(　　)

A.甲比乙质量好  B.乙比甲质量好

C.甲与乙质量一样  D.无法判定

【答案】A

【解析】E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.

显然E(X)<E(Y)，由数学期望的意义知，甲的质量比乙的质量好.

9.已知随机变量ξ的分布列如表：

记“函数是偶函数”为事件A，则下列结论正确的有（   ）

A． 

B．， 

C．， 

D．

【答案】BD

【解析】由随机变量ξ的分布列知：

E（ξ）＝﹣a+b，E（ξ2）＝a+b＝1﹣＝，

∵“函数是偶函数”为事件A，ξ的所在取值为﹣1，0，1，满足事件A的ξ的可能取值为﹣1，1，∴P（A）＝．故选：BD．

10. 马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：

请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.

【答案】2

【解析】令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，

∴E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.

11.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________.

【答案】

【解析】分布列如下表所示：

所以期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.

12.盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，P（ξ＝4）＝　　，E（ξ）＝　　．[来源:Z。xx。k.Com]

【答案】，

【解析】盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，

取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，

则ξ的所有可能取值为3，4，5，6，

P（ξ＝3）＝，

P（ξ＝4）＝，

P（ξ＝5）＝

P（ξ＝6）＝，

E（ξ）＝3．

故答案为：，．

13． 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望.

【解析】(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.

(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

14.本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ).

【解析】(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则

P(A)＝×＋×＋×＝.

故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为

(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.

P(ξ＝0)＝×＝；

P(ξ＝2)＝×＋×＝；

P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝；

P(ξ＝6)＝×＋×＝；

P(ξ＝8)＝×＝.

∴甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为

∴E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.