高中数学8.2 一元线性回归模型及其应用同步训练题

第八章  成对数据的统计分析

8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计

1.设有一个经验回归方程，变量增加1个单位长度时，变量（   ）

A．平均增加2.5个单位长度

B．平均增加2个单位长度

C．平均减少2.5个单位长度

D．平均减少2个单位长度

【答案】C 

【解析】由经验回归方程的意义判断，将变为，显然减少了2.5个单位长度．[来源:学&科&网]

2.一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了儿子身高（单位：cm）与年龄的回归方程为，用这个方程预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是（　　）

A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm

B．她儿子10岁时的身高在145.83 cm以上

C．她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右

D．她儿子10岁时的身高在145.83 cm以下

【答案】C

【解析】利用回归方程进行预测，只能说身高在某一预测值附近．由经验回归方程预测她儿子10岁时的身高（cm）．故选C．

3.（★）有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品的销售额的有关数据如下表：

根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额与平均气温之间的经验回归方程的系数．则预测平均气温为-8℃时，该商品的销售额为（　　）

A．34.6万元     B．35.6万元

C．36.6万元     D．37.6万元

【答案】A

【解析】由已知，得，，

所以，

即经验回归方程为，

当时，，故选A．

4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：

根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________．

【答案】3

【解析】由回归直线过点(,),即＝0.7＋0.35，

得，

解得t＝3.

5为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：

小李这5天的平均投篮命中率为________；用经验回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．

【答案】0.5　0.53

【解析】李这5天的平均投篮命中率＝ (0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，＝3，

，．

∴经验回归方程为＝0.01x＋0.47，

则当x＝6时，y＝0.53.

∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53.

6某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm，170 cm和182 cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用经验回归分析的方法预测他孙子的身高为______cm．

【答案】185

【解析】设父亲身高为 cm，儿子的身高为 cm，由题意可列表格如下：

由表格中数据得，则

，，当时，．

7.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与消化系数如下表：

由此得经验回归方程的斜率是           （精确到0.01）

【答案】38.14

【解析】由回归系数的几何意义知，回归直线的斜率即是回归系数，据

计算可得．

8..某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：

表1

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5得到下表2：

表2

(1)求z关于t的经验回归方程；[来源:学,科,网]

(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；[来源:学科网]

(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？

(附：对于经验回归方程，

其中)

【解析】(1) ＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55，

，

＝2.2－3×1.2＝－1.4，

所以＝1.2t－1.4.

(2)将t＝x－2 012，z＝y－5，代入＝1.2t－1.4，

得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即＝1.2x－2 410.8.

(3)因为＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6，

所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.

9.一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为＝9.5＋0.006 2x，

(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数．

(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．

【解析】(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2则1－2＝9.5＋0.006 2x1－(9.5＋0.006 2x2)

＝0.006 2×1 000≈6，即船员平均相差6人．

(2)当x＝192时，＝9.5＋0.006 2×192≈10，当x＝3 246时，＝9.5＋0.006 2×3 246≈29.

即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为29人和10

10.某个体服装店经营某种服装在某周内获得的纯利润y（元）与该周每天销售这种服装的件数x之间有如下一组数据：

已知=280，=45309，=3487．   

（1）求，；

（2）求纯利润y与每天销售件数x的经验回归方程；

（3）估计每天销售10件这种服装时，纯利润是多少元．

【解析】（1），

．

（2）设经验回归方程为，则

．

所求经验回归方程为=4.75x+51.36．

（3）当x= 10时，= 98.86，估计每天销售10件这种服装时，可获纯利润为98.86元．