2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式复习练习题

这是一份2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式复习练习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知点P(2,3)点Q(1,4)，则|PQ|为（ ）
A. 4B. 2C. 2D. 12
已知点A(1,2)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，则实数m的取值范围是（ ）
A. (−13,+∞)B. (−13,134)
C. (−∞,134)D. (−∞,−13)∪(134,+∞)
阿波罗尼斯(约公元前262−190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA||PB|=2，当P，A，B不共线时，ΔPAB面积的最大值是( )
A. 2B. 22C. 223D. 23
圆心为(2,−1)且过原点的圆的方程是（ ）
A. (x−2)2+(y+1)2=5B. (x+2)2+(y+1)2=2
C. (x−2)2+(y+1)2=2D. (x+2)2+(y−1)2=5
(理)若点A(2,3，2)关于xz平面的对称点为A′，点B(−2,1，4)关于y轴对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|=( )
A. 30B. 36C. 5D. 21
已知三角形的三个顶点A(2,4)，B(3,−6)，C(5,2)，则过A点的中线长为（ ）
A. 10B. 210C. 112D. 310
在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，若点M为边BC所在直线上的一个动点，则|4MA+3MB+2MC|的最小值为（ ）
A. 36B. 66C. 32498D. 3152
已知⊙O：x2+y2=4，直线l：mx−y−m+1=0(m∈R)，则⊙O与直线l的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 与m值有关
已知点A(1,1)和点B(4,4)，P是直线x−y+1=0上的一点，则PA+PB的最小值是( )
A. 36B. 34C. 5D. 25
已知两定点A(-2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A. πB. 4πC. 8πD. 9π
若直线y=kx−1与圆C：x2+y2−2x−2y=0相交于A，B两点，当|AB|=2时，k=( )
A. −1B. −12C. 34D. 32
点P是正方体ABCD−A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点，若ΔAPD与ΔBCP的面积之比等于2，则点P的轨迹是( )
A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分
已知三点A(1,0)，B(0,3)，C(2,3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A. 53B. 213C. 253D. 43
若P为直线x−y+3=0上一个动点，从点P引圆x2+y2−2x=0的两条切线PM，PN(切点为M，N)，则线段MN的长度的取值范围是( )
A. 7,2B. 7,2C. 142,2D. 142,2
二、填空题
已知x，y∈R，且y≠0，则(x+y)2+(x−3y)2的最小值为______．
过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线x−y+5=0平行，则|AB|的值为_______．
在空间直角坐标系中，点P(0,0，1)为平面ABC外一点，其中A(1,1，0)，B(0,2，3)，若平面ABC的一个法向量为(1,m，1)，则点P到平面ABC的距离为__________．
四边形ABCD的各个顶点依次位于抛物线y=x2上，∠BAD=60°，对角线AC平行x轴，且AC平分∠BAD，若BD=2，则ABCD的面积为______．
设P，Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是__________．
三、解答题
已知点A(−2,−2)，B(−2,6)，C(4,−2)，点P在圆x2+y2=4上运动，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值．
已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
(1)若∠APB=60°，试求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=2时，求直线CD的方程；
(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x−2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为(1,2)，求：
(Ⅰ)点A和点C的坐标；
(Ⅱ)△ABC的面积．
已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0．
(1)求顶点C的坐标;
(2)求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：点P(2,3)点Q(1,4)，
则|PQ|=(2−1)2+(3−4)2=2．
2.【答案】B
【解析】解：圆x2+y2+2x+3y+m=0，配方为：(x+1)2+(y+32)2=134−m>0．
解得m<134．
可得圆心C(−1,−32)，半径R=134−m．
∵点A(1,2)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，
∴|AC|=22+(72)2>134−m．
解得−13故选：B．
圆x2+y2+2x+3y+m=0，配方为：(x+1)2+(y+32)2=134−m>0.解得m范围．可得圆心C(−1,−32)，半径R=134−m.由于点A(1,2)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，可得|AC|>R，即可得出．
3.【答案】B
【解答】
解：设A(1,0)，B(−1,0)，P(x,y)，则(x−1)2+y2(x+1)2+y2=2，化简得(x+3)2+y2=8，
当点P到AB(x轴)距离最大时，△PAB面积的最大值，
∴△PAB面积最大值为：12×2×22=22，
故选B．
4.【答案】A
【解答】
解：圆的圆心为(2,−1)且过原点，
则圆的半径r=22+−12=5，
所以圆的标准方程为：(x−2)2+(y+1)2=5．
故选A.
5.【答案】C
【解析】解：∵点A(2,3，2)关于xz平面的对称点为A′，
∴A′(2,−3,2)，
∵点B(−2,1，4)关于y轴对称点为B′，
∴B′(2,1，−4)，
∵点M为线段A′B′的中点，
∴M(2,−1,−1)，
∴|MA|=(2−2)2+(−1−3)2+(−1−2)2=5．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，设BC的中点为D，
又由B(3,−6)，C(5,2)，则BC的中点D坐标为(4,−2)，
则|AD|=4+36=210；
7.【答案】D
【解析】解：以点B为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，
如图所示：
由于AB=2，AC=3，BC=4，
所以B(0,0)，C(4,0)，
cs∠ABC=AB2+BC2−AC22⋅AB⋅BC=4+16−92×2×4=1116，
所以点A的横坐标为ABcs∠ABC=2×1116=118，
sin∠ABC=1−cs2∠ABC=31516，
点A的纵坐标为AB⋅sin∠ABC=2×31516=3158．
所以A(118,3158)，
设点M的坐标为(x,0)，
所以MA=(118−x,3158)，MB=(−x,0)，MC=(4−x,0)，
4MA+3MB+2MC的横坐标为4(118−x)+3(−x)+2(4−x)=272−9x，
4MA+3MB+2MC的纵坐标为4×3158+3×0+2×0=3152．
故4MA+3MB+2MC的坐标为(272−9x,3152)，
|4MA+3MB+2MC|=(272−9x)2+(3152)2，
由于(272−9x)2≥0，
所以当x=32时，|4MA+3MB+2MC|的最小值为3152．
8.【答案】A
【解答】
解：由题知⊙O：x2+y2=4，⊙O的圆心为原点0,0，半径为2，
∵直线l：mx−y−m+1=0(m∈R)，
∴m(x−1)−y+1=0，
令x−1=0,−y+1=0,，解得x=1,y=1,,
故直线l必过定点(1,1)，
该定点与原点的距离为：12+12=2<2，
故定点(1,1)在圆O内，
则直线l与圆O一定相交，
故选A．
9.【答案】D
【解答】
解：点A(1,1)和点B(4,4)，
P是直线x−y+1=0上的一点，
过A作直线y=x+1的对称点A′，设A′(m,n)，
可得n−1m−1 =−1, n+12 = m+12 +1,
解得m=0，n=2，即A′(0,2)，
连接A′B，可得|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|= (4−0)2+(4−2)2 =25 ,
当且仅当A′，P，B三点共线时，取得最小值25．
故选：D．
10.【答案】B
【解析】解：已知两定点A(−2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，设P点的坐标为(x,y)，
则(x+2)2+y2=4[(x−1)2+y2]，即(x−2)2+y2=4，
所以点的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，
所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π，
11.【答案】C
【解答】
解：圆C:x−12+y−12=2，当AC⊥BC时，▵ABC的面积最大为1，∴圆心C到直线kx−y−1=0的距离为1，则k−2k2+1=1 ，解得k=34．
故选C．
12.【答案】A
【解答】
解：由正方体的结构特点可知，△APD与△BCP是直角三角形，且|AD|=|BC|，
∴△APD与△BCP的面积之比等于2，即PDPC=2，
如图在平面DCC1D1建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则D(0,0)，C(1,0)，设P(x,y)，
则x2+y2(x−1)2+y2=2，化简得3x2+3y2−8x+4=0，
∴点P的轨迹是圆的一部分．
故选A．
13.【答案】B
【解答】
解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，
可设圆心P(1,p)，由PA=PB得|p|= 1+(p− 3 )2，解得p=233，
因此圆心坐标为P1,233，
所以圆心到原点的距离|OP|=1+2332=213，
故选B．
14.【答案】C
【解答】
解：由x2+y2−2x=0可得x−12+y2=1，其圆心C(1,0)，半径r=1．
P为直线x−y+3=0上一个动点，设P(x,x+3)，
则PC=x−12+x+32=2x2+4x+10，
则PM=PC2−1=2x2+4x+9，
所以MN=2PM·CMPC=22x2+4x+92x2+4x+10
=21−12x2+4x+10=21−12x+12+8，
∴当x=−1时，MN取得最小值142，且MN<2，
故MN的取值范围为[142,2)，
故选C．
15.【答案】6
【解析】解：由题意(x+y)2+(x−3y)2表示点(x,x)与点(−y,3y)之间的距离的平方，根据点(x,x)在直线x=y，点(−y,3y)在反比例xy=−3，
设与x=y平行的直线为y=x+b，
联立xy=−3y=x+b，消去y，可得x2−bx+3=0，
由△=0，即b2−12=0，
解得b=±23
两平行直线的距离为原题中的最小距离：d=232
所以(x+y)2+(x−3y)2之间的最小距离为6
16.【答案】2
【解答】
解：∵过点A(4,a)，B(5,b)的直线与直线y=x+5平行，
∴b-a5-4=1，
∴b−a=1，
∴|AB|=(5-4)2+(b-a)2=1+1=2．
17.【答案】63
【解答】
解：∵A(1,1，0)，B(0,2，3)，
所以AB=(−1,1，3)，
因为平面ABC的一个法向量是n=(1,m,1)，
所以−1+m+3=0，
即m=−2，
所以n=(1,−2,1)，
因为点P(0,0，1)为平面ABC外一点，
所以PA=(1,1,−1)，
则d=|PA·n||n|=|1−2−1|1+4+1=63．
故答案为63．
18.【答案】36
【解析】解：设A(t,t2),B(x1,x12),D(x2,x22)，则kAB=t2−x12t−x1=t+x1=33①，kAD=t2−x22t−x2=t+x2=−33②，BD2=(x1−x2)2+(x12−x22)2=(x1−x2)2[1+(x1+x2)2]=2③，
由①+②，①−②可得，x1+x2=−2t,x1−x2=233④，
将④代入③，可得43(4t2+1)=2，
解得t=±24，则|AC|=2t=22，
∴SABCD=12|AC||yB−yD|=24|x12−x22|=24×233×22=36．
19.【答案】62
【解答】
解：设椭圆上的点Q(x,y)，
则点Q到圆心(0,6)的距离为
x2+(y−6)2=−9y+232+50≤52，
所以PQmax=52+2=62．
故答案为62．
20.【答案】解：∵点P在圆x2+y2=4上运动，
∴设P(a,b)，
则a2+b2=4，
a2=4−b2≥0，
∴b2≤4，
∴−2≤b≤2．
则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(a+2)2+(b+2)2+(a+2)2+(b−6)2+(a−4)2+(b+2)2=3a2+3b2−4b+68，
∴把a2=4−b2代入3a2+3b2−4b+68=12−3b2+3b2−4b+68=−4b+80，
∵−2≤b≤2，
∴−8≤−4b≤8
80−8≤80−4b≤80+8，
72≤−4b+80≤88
∴最大值是88，最小值是72，
∴|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．
21.【答案】解：(1)直线l 的方程为x−2y=0，点P 在直线l 上，设P2m,m，
由题知PM=2．
∴2m2+m−22=4，
解得m=0或m=45，
故所求点P 的坐标为P0,0，或P(85,45)．
(2)易知直线CD 的斜率一定存在，设其方程为y−1=kx−2，
由题知圆心M到直线CD的距离为22，
∴22=|−2k−1|1+k2，
解得k=−1或k=−17，
故所求直线CD的方程为x+y−3=0或x+7y−9=0．
(3)设P2m,m，则MP 的中点Qm,m2+1，
∵PA是圆M的切线，
∴经过A,P,M三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，
故其方程为(x−m)2+(y−m2−1)2=m2+(m2−1)2，
化简得x2+y2−2y−m2x+y−2=0，此式是关于m 的恒等式，
故2x+y−2=0,x2+y2−2y=0,解得x=0y=2或x=45y=25，
所以经过A,P,M三点的圆必过定点0,2或(45,25)．
22.【答案】解：(Ⅰ)由已知点A为BC边上的高所在直线与∠A的平分线所在直线的交点，
由x−2y+1=0y=0得x=−1y=0，故A(−1,0) ．
由kAC=−kAB=−1，所以AC所在直线的方程为y=−(x+1)，
因为BC边上的高所在的直线方程为x−2y+1=0，
BC所在直线的方程为y−2=−2(x−1)，
由y=−(x+1)y−2=−2(x−1)得C(5,−6) ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC所在直线的方程为x+y+1=0，
所以点B到直线AC的距离为d=1+2+12=22，
又AC=62，
∴△ABC的面积为12×AC×d=12．
23.【答案】解：(1)由顶点A(5,1)，和边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0，
得直线AC的方程为2x+y−11=0，①，
中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，②
由①②解得x=4，y=3，
所以顶点C(4,3)；
(2)设顶点B(m,n)，
因为AB的中点在中线CM上，
所以2×m+52−n+12−5=0，③
因为高BH所在直线方程为x−2y−5=0，
所以m−2n−5=0；④，
由③④解得m=−1，n=−3，
所以顶点B(−1,−3)，
顶点B(−1,−3)到直线AC:2x+y−11=0的距离为：|2×−1−3−11|22+12=165，
线段AC=5−42+1−32=5，
所以△ABC的面积为S△ABC=12×5×165=8．