数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程巩固练习

这是一份数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程巩固练习，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
已知M，N分别是曲线C1:x2+y2−4x−4y+7=0,C2:x2+y2−2x=0上的两个动点，P为直线x+y+1=0上的一个动点，则|PM|+|PN|的最小值为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
方程|x|−1=1−(y−1)2所表示的曲线是 ( )
A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 两个半圆
已知圆C1:(x+1)2+(y−1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x−y−1=0对称，则圆C2的方程为( )
A. (x+2)2+(y−1)2=1B. (x−2)2+(y+2)2=1
C. (x+2)2+(y+2)2=1D. (x−2)2+(y−2)2=1
在平面直角坐标系xOy中，过A4,4,B4,0,C0,4三点的圆被x轴截得的弦长为( )
A. 4B. 42C. 2D. 22
已知圆C：x2+y2=9，点P为直线x+2y−9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA,PB，A,B为切点，则直线AB经过定点( )
A. 4,8B. 2,4C. 1,2D. 9,0
圆x+12+y2=4的圆心坐标和半径分别是（ ）
A. (1,0)，2B. (−1,0)，2C. (1,0)，4D. (−1,0)，4
在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为（ ）
A. 3B. 22C. 5D. 2
已知点P(2,2)，点M是圆O1:x2+y−12=14上的动点，点N是圆O2:x−22+y2=14上的动点，则PN−PM的最大值是( )
A. 5−1B. 5−2C. 2−5D. 3−5
已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1)和(−2,3)，则圆C的方程是（ ）
A. (x+1)2+(y+2)2=10B. (x−1)2+(y−2)2=40
C. (x−1)2+(y−2)2=10D. (x+1)2+(y+2)2=40
圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
A. 1B. 2C. 2D. 22
以点(2,−3)为圆心，3为半径的圆的标准方程为（ ）
A. (x−2)2+(y+3)2=3B. (x−2)2+(y+3)2=9
C. (x+2)2+(y−3)2=3D. (x+2)2+(y−3)2=9
已知直线x+ay−1=0是圆C:x2+y2−4x+2y+1=0的对称轴，过A−4,a作圆C的一条切线，切点为B，则AB=( )
A. 5B. 6C. 52D. 62
若圆C1:x+22+y−22=1，C2:x−22+y−52=16，则C1和C2的位置关系是( )
A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切
圆C的方程为x2−2x+y2=0，直线l:kx−y+2−2k=0与圆C交于A,B两点，则当ΔABC面积最大时，直线l的斜率k为
A. 1B. 1或7C. 6D. 2或6
二、填空题
在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为______．
过点A(1,−1)，B(−1,1)，且圆心在x+y−2=0上的圆的方程是____________________．
以点P(1,1)为圆心，且经过原点的圆的标准方程为____________．
写出曲线x2+y2−2x−4y=0的一条对称轴所在的直线方程________．
三、解答题
已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为5，且与直线4x+3y+17=0相切．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P(−1,32)，过点P作直线l与圆C交于A,B两点，若AB=8，求直线l的方程；
(3)设P是直线x+y+6=0上的点，过P点作圆C的切线PA,PB，切点为A,B.求证：经过A,P,C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线x−y=0上，且圆C经过点P(2,0)和点Q(−1,3)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点M(2,1)且与圆C恰有1个公共点的直线的方程．
已知圆C过点M(1,4)，N(3,2)，且圆心在直线4x−3y=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)平面上有两点A(−2,0)，B(2,0)，点P是圆C上的动点，求|AP|2+|BP|2的最小值；
(3)若Q是x轴上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点，试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
已知圆C经过三点A1(−2,0)，A2(2,0)，A3(1,3).
(1)求圆C的标准方程：
(2)过点M(−3,0)作直线l交圆C于P，Q两点，若弦长|PQ|=2.求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解答】
解：曲线C1:x2+y2−4x−4y+7=0，即x−22+y−22=1，为圆心为C1(2,2)，半径r1=1的圆，
曲线C2:x2+y2−2x=0，即x−12+y2=1，为圆心为C2(1,0)，半径r2=1的圆，
设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆的方程C′2：x−a2+y−b2=1，
则有a+12+b2+1=0b−0a−1·−1=−1，解得a=−1b=−2,
则C′2：x+12+y+22=1，则C′2的圆心为(−1,−2)，半径r3=1，
则圆心C2(−1,0)关于x+y+1=0的对称点为C′2(−1,−2)，
那么|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PC′2|≥|C1C′2|=2−−12+2−−22=5，
而|PM|=|PC1|−r1，|PN|=|PC′2|−r3，
∴|PM|+|PN|=|PC1|+|PC′2|−2≥5−2=3．
故选D．
2.【答案】D
【解答】解：由题意，得(|x|−1)2+(y−1)2=1,|x|−1≥0,
即(x−1)2+(y−1)2=1,x≥1
或(x+1)2+(y−1)2=1,x≤−1,
故原方程表示两个半圆．
故选D．
3.【答案】B
【解答】
解：圆C1:(x+1)2+(y−1)2=1，圆心C1为点(−1,1)，半径为1，易知点C1(−1,1)关于直线x−y−1=0对称的点为C2，
设C2的坐标为(a,b)，则
b−1a+1=−1,a−12−b+12−1=0,
解得a=2,b=−2,
所以C2的坐标为(2,−2)，
所以圆C2的圆心为C2(2,−2)，半径为1，
所以圆C2的方程为(x−2)2+(y+2)2=1．
4.【答案】A
【解答】解：根据题意，设过A，B，C三点的圆为圆M，
其方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
又由A4,4,B4,0,C0,4，得32+4D+4E+F=0,16+4D+F=0,16+4E+F=0,
解得D=−4,E=−4,F=0则圆M的方程为x2+y2−4x−4y=0．
令y=0可得x2−4x=0，解得x1=0,x2=4，
即圆与x轴的交点分别为0,0,4,0，则圆被x轴截得的弦长为4．
故选A．
5.【答案】C
【解答】
解：设P(9−2b,b)，则以OP为直径的圆的方程为(x−9−2b2)2+(y−b2)2=14[(9−2b)2+b2]，①
又圆C：x2+y2=9，②
①−②可得直线lAB：(9−2b)x+by=9，即b(y−2x)+9x−9=0，
联立y−2x=09x−9=0，解得x=1y=2．
∴直线AB经过定点(1,2)．
故选C．
6.【答案】B
【解答】
解：根据圆的标准方程x+12+y2=4，
得圆心坐标为(−1,0)，半径为2．
故选B．
7.【答案】A
【解答】
解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示的坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，D(0,2)，C(1,2)，
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD=22+12=5
∴12BC⋅CD=12BD⋅r，
∴r=25，
∴圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=45，
设点P的坐标为(255csθ+1,255sinθ+2)，
∵AP=λAB+μAD，
∴(255csθ+1,255sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ)，
∴255csθ+1=λ，255sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=255csθ+55sinθ+2=sin(θ+φ)+2，其中tanφ=2，
∵−1≤sin(θ+φ)≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选A．
8.【答案】D
【解答】
解：如图：
圆x2+y−12=14的圆心E0,1，圆x−22+y2=14的圆心F2,0，这两个圆的半径都是12．
要使PN−PM最大，需PN最大，且PM最小，
由图可得，PN最大值为PF+12，PM的最小值为PE−12，
故PN−PM最大值是PF+12−PE−12=PF−PE+1
=(2−2)2+(2−0)2−(2−0)2+(2−1)2+1
=3−5，
故PN−PM的最大值为3−5，
故选D．
9.【答案】C
【解答】
解：圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1)和(−2,3)，
故利用中点坐标公式求得圆心为(1,2)，半径为12(4+2)2+(1−3)2=1240=10，
故圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=10，
故选：C．
10.【答案】B
【解答】
解：∵圆(x+1)2+y2=2的圆心为(−1,0)，
∴圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：
d=|−1+3|2=2．
故选B．
11.【答案】B
【解析】解：根据题意，要求圆以点(2,−3)为圆心，3为半径，
则圆的标准方程为(x−2)2+(y+3)2=9；
故选：B．
根据题意，已知圆的圆心以及半径，由圆的标准方程形式分析可得答案．
本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．
12.【答案】B
【解答】
解：∵圆C：x2+y2−4x+2y+1=0，即(x−2)2+(y+1)2=4，
∴圆C表示以C(2,−1)为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay−1=0经过圆C的圆心(2,−1)，
故有2−a−1=0，∴a=1，点A(−4,1)．
∵|AC|=(−4−2)2+(1+1)2=210，|CB|=R=2，
∴切线的长|AB|=AC2−CB2=40−4=6，
故选B．
13.【答案】D
【解答】
解：圆C1表示以−2,2为圆心，以r=1为半径的圆．
圆C2表示以2,5为圆心，以R=4为半径的圆．
两圆的圆心距C1C2=9+16=5，
又r−R0)，
则由直线和圆相切的条件：d1=r，
可得d1=4a+0+1716+9=5，解得a=2(负值舍去)，
即有圆C的方程为(x−2)2+y2=25；
(2)若直线l的斜率不存在，即l:x=−1，
代入圆的方程可得，y=±4，即有|AB|=8，成立；
若直线l的斜率存在，可设直线l:y−32=k(x+1)，
即为2kx−2y+3+2k=0，
圆心C到直线l的距离为d2=4k−0+3+2k4k2+4=6k+34k2+4，
由AB=8，即有225−d22=8，
即有d2=3，即6k+34k2+4=3，解得k=34，
则直线l的方程为3x−4y+9=0；
所以直线l的方程为：3x−4y+9=0或者x=−1．
(3)证明：由于P是直线x+y+6=0上的点，
设P(m,−m−6)，由切线的性质可得AC⊥PA，经过A，P，C三点的圆，即为以PC为直径的圆，
则方程为(x−2)(x−m)+y(y+m+6)=0，
整理可得(x2+y2−2x+6y)+m(y−x+2)=0，
可令x2+y2−2x+6y=0，且y−x+2=0，
解得x=2，y=0，或x=−2，y=−4．
则有经过A，P，C三点的圆必过定点，
所有定点的坐标为(2,0)，(−2,−4)．
20.【答案】解：(1)直线PQ的斜率k1=−33，PQ中点坐标为(12,32)，
所以PQ中垂线方程为y−32=3(x−12)，即y=3x．
由y=xy=3x得圆心C(0,0)，
所以r=|CP|=2．
所以圆C的标准方程为：x2+y2=4．
(2)当该直线斜率不存在，即直线方程为x=2时，成立
当该直线斜率存在时，设其方程为：y−1=k(x−2)，即kx−y−2k+1=0，
因为该直线与圆C恰有1个公共点，
所以圆心到直线距离d=|1−2k|k2+1=2，得k=−34，
所以切线方程为x=2或3x+4y−10=0
21.【答案】解：(1)∵圆心C在直线4x−3y=0上，∴设C(a,43a)，
由|CM|=|CN|，得(a−1)2+(43a−4)2=(a−3)2+(43a−2)2．
解得：a=3．
∴圆心C为(3,4)，半径r=|CM|=2．
∴圆C方程为：(x−3)2+(y−4)2=4；
(2)设P(x,y)，
则|AP|2+|BP|2=(x+2)2+y2+(x−2)2+y2=2(x2+y2)+8=2|PO|2+8．
∵|PO|min2=(|OC|−r)2=(5−2)2=9，
∴(|AP|2+|BP|2)min=18+8=26；
(3)设Q(t,0)，则以CQ为直径的圆圆心为D(3+t2,2)，半径为12|CQ|=(t−3)2+162．
则圆D方程为(x−3+t2)2+(y−2)2=(t−3)2+164，
即为x2+y2−(3+t)x−4y+3t=0．
直线RS为圆C与圆D的相交弦，两圆联立可得RS的方程为：(3−t)x+4y+3t−21=0．
即(3−x)t+3x+4y−21=0，
由3−x=03x+4y−21=0⇒x=3y=3，
∴直线RS恒过定点(3,3)．
22.【答案】解：(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
圆C经过三点A1(−2,0)，A2(2,0)，A3(1,3).
∴4−2D+F=04+2D+F=04+D+3E+F=0，解得D=0E=0F=−4，
∴圆C的标准方程为：x2+y2=4；
(2)设直线l：y=k(x+3)，圆心C到直线PQ的距离为|3k|k2+1，
∴|PQ|=2⋅4−9k21+k2=2⋅4−5k21+k2，
由2⋅4−5k21+k2=2，得4−5k21+k2=1，即k=±22．
∴直线l的方程为y=±22(x+3)．