人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
平面直角坐标系内，过点(2,0)的直线l与曲线y=1−x2相交于A,B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为( )
A. −33B. −3C. −12D. −22
若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx−y−9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0与圆C:(x−1)2+(y−2)2=25的位置关系为（ ）
A. 与m的值有关B. 相离C. 相切D. 相交
已知两点A(0,3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2+y2+2y=0上的动点，则△ABP的面积的最小值为（ ）
A. 5B. 112C. 8D. 212
已知点P(x,y)是直线3x+y−8=0上一动点，直线PA，PB是圆C：x2+y2−4y=0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（ ）
A. 23B. 4C. 25D. 26
已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
平行于直线x+y-1=0且与圆x2+y2-2=0相切的直线的方程是( )
A. x+y+2=0B. x+y-2=0
C. x+y+22=0 或x+y-22=0D. x+y+2=0或x+y-2=0
过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）
A. 4B. 2C. 85D. 125
过点(3,1)作圆(x−1)2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A. 2x+y−5=0B. 2x+y−7=0C. x−2y−5=0D. x−2y−7=0
已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A. 2x-y-1=0B. 2x+y-1=0C. 2x-y+1=0D. 2x+y+1=0
已知点P(x,y)是直线y=22x−4上一动点，PM与PN是圆C：x2+(y−1)2=1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为( )
A. 43B. 23C. 53D. 56
点P为射线x=2(y≥0)上一点，过P作圆x2+y2=3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为( )
A. (2,1)B. (2,2)C. (2,2)D. (2,0)
已知直线y=k(x+1)与曲线y=4−(x−2)2有两个交点，则k的取值范围为（
A. 0,255B. 0,255C. 0,55D. 0,55
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)，圆E：x−a2+y2=127与C的渐近线相切，为F作C的两渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若四边形OMFN(O为坐标原点)的面积为23，则C的离心率为( )
A. 72B. 3C. 72或213D. 3或213
二、填空题
已知圆方程为(x−1)2+y2=1，则过点(2,2)且与圆相切的直线方程为_____________ .(写成一般形式)
过点A(3,5)作圆O：x2+y2-2x-4y+1=0的切线，则切线的方程为__________．
过定点M的直线：kx−y+1−2k=0与圆：(x+1)2+(y−5)2=9相切于点N，则|MN|=_______．
直线x+y+1=0被圆C：x2+y2=2所截得的弦长为________；由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线，切线长的最小值为________．
过点P(1,1)作圆x2+y2+2x−1=0的切线，切点为，则PA=________．
三、解答题
已知圆C过点(0 , 0)，(1 , 1)，(4 , 2) ．
(1)求圆C的方程；
(2)过点(−1 , −2)作圆C的切线，求切线的方程；
(3)作直线l:y=x+b交圆C于A,B两点，求使三角形ABC面积最大时的直线l的方程(点C为圆C的圆心)．
已知圆:x2+y2=2,直线l:y=kx−2
(1)若直线l与圆O相切，求k的值；
(2)若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M1,22，求四边形EGFH的面积的最大值；
(3)若k=12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D。探究直线CD是否过定点？若是，求出定点，并说明理由．
已知圆C：x2+y2−6x+8=0，
(1)求圆C半径和圆心坐标；
(2)求过点2,3且与圆C相切的直线方程．
已知圆M过两点C(1,−1)，D(−1,1)，且圆心M在x+y−2=0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：由y=1−x2，得x2+y2=1(y≥0)．
曲线y=1−x2表示以O为圆心，半径为1的上半圆，
则△AOB的面积，
要使三角形的面积最大，此时，即，
则AB=2,
取AB的中点C，则|OC|=12|AB|=22，
∵OD=2，∴sin∠ODC=OCOD=222=12，
则，，
即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率，
故选：A．
2.【答案】A
【解答】
解：方法一：联立直线与圆的方程得：
y=kx+1x2+y2+kx−y−9=0,
消去y得：(k2+1)x2+2kx−9=0，
设方程的两根分别为x1，x2，
由题意得：x1+x2=−2kk2+1=0，
解得：k=0．
故选A．
方法二：直线y=kx+1与圆x2+y2+kx−y−9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则两交点所确定的直线与y轴垂直，故直线y=kx+1斜率为0，所以k=0．
故选A．
方法三：直线y=kx+1与圆x2+y2+kx−y−9=0的两个交点恰好关于y轴对称，又圆心在弦的中垂线上，则圆心在y轴上，故圆心的横坐标为0，所以圆方程(x+k2)²+(y−12)²=9+14+k24中−k2=0，即k=0．
故选A．
3.【答案】D
【解答】解：因为直线l的方程可化为m(2x+y−7)+x+y−4=0，
则由2x+y−7=0x+y−4=0，得x=3y=1，
即直线l过定点(3,1)，而(3−1)2+(1−2)2<25，即点(3,1)在圆内，
所以直线l与圆C相交.故选D．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，△ABP面积为底乘以高，底边长|AB|为定值，只需高最小，
即求P到直线AB的最小值，
即为圆心到直线AB的距离减去半径．
直线AB的方程为x4+y3=1，即3x+4y−12=0，
圆x2+y2+2y=0，即x2+(y+1)2=1，圆心为(0,−1)，半径为1，
∵圆心到直线AB的距离为d=|−4−12|5=165，
∴P到直线AB的最小值为165−1=115，
∵|AB|=5，
∴△ABP面积的最小值为12×5×115=112，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：如图：
圆C的半径为r=2，圆心为C(0,2)，
又P在直线3x+y−8=0上，
∴PC的最小值为C到直线3x+y−8=0上的距离d=63+1=3，
∴PA的最小值为32−22=5，
∴四边形PACB的面积的最小值为2×5=25．
6.【答案】B
【解答】
解：由圆的方程可得圆心坐标C(3,0)，半径r=3，且点D在圆内，
设圆心到直线的距离为d，则过D(1,2)的直线与圆的相交弦长|AB|=2r2−d2，
当d最大时|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d=|CD|=(3−1)2+(2−0)2=22，
所以最小的弦长|AB|=232−(22)2=2，
故选B．
7.【答案】D
解：设所求直线方程为x+y+b=0，平行于直线x+y-1=0且与圆x2+y2=2相切，
所以|b|1+1=2，所以b=±2，所以所求直线方程为：x+y+2=0或x+y-2=0．
故选：D．
8.【答案】A
【解答】
解：由已知，切线斜率存在且不为0，
因为P为圆上一点，则有kOP·kl=−1,
而kOP=4−1−2−2=−34，
∴kl=43．
∴a=4,
所以直线m：4x−3y=0,
直线l：y−4=43x+2即4x−3y+20=0．
∴l与m的距离为．
故选A．
9.【答案】B
【解答】
解：设过点P(3,1)作圆O:(x−1)2+y2=r2的切线有且只有一条，
所以点P在圆上，圆心O(1,0)
故kPO=1−03−1=12，
则切线的方程的斜率k=−1kPO=−2
故该切线的方程为y−1=−2x−3，即2x+y−7=0
故选B．
10.【答案】D
【解答】
解：圆M方程化为：(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2，
根据切线的性质及圆的对称性可知，
则|PM|⋅|AB|=4S△PAM=2|PA|⋅|AM|，
要使其值最小，只需PA最小，即PM最小，此时，
∴|PM|=|2+1+2|5=5，|PA|=|PM|2−|AM|2=1，
过点M且垂直于l的方程为y−1=12(x−1)，联立l的方程解得P(−1,0)，
以P为圆心，PA为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，
结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0，
故选D．
11.【答案】A
【解答】
解：如图所示，
由切线的性质可知，CM⊥PM，CN⊥PN，
且，|PM|=|PN|=|PC|2−|CM|2=|PC|2−1，
当|PC|取最小值时，PM、PN也取得最小值，
显然当CP与直线y=22x−4垂直时，PC取最小值，
且该最小值为点C0,1到直线y=22x−4的距离，
即|PC|min=|−1−4|(22)2+(−1)2=53，
此时|PM|=|PN|=|PC|min2−1=(53)2−1=43，
∴四边形PMCN面积的最小值为
2×12|PM|min⋅|CM|=2×12×43×1=43，
故选A．
12.【答案】C
【解答】
解：设切点为A,B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA=OB，AP=BP，AP⊥BP，
故四边形OAPB为正方形，则|OP|=6，
又xP=2，
则P(2,2)．
故选C．
13.【答案】A
【解答】
解：y=4−(x−2)2，即(x−2)2+y2=4(y⩾0)，直线y=k(x+1)过定点−1,0，
画出图象，如图所示：
当直线与半圆相切时，AB=3，AC=2，BC=AB2−AC2=5．
此时斜率为255，根据图象知k∈[0,255)．
故选A
14.【答案】C
【解答】
解：因为圆E：(x−a)2+y2=127与C的渐近线相切，
设切点为P，又圆E的圆心恰为C的右顶点，
由双曲线的性质可知|FM|=b，|OM|=a，
所以SOMFN=2SOMF=2×12|OM|×|FM|=ab，
所以ab=23，又由题可知，EP//FM，
所以由相似三角形性质可知EP|FM|=|OE||OF|⇒237b=ac⇒7ab=23c，
从而c=7，所以ab=23a2+b2=7⇒a=2,b=3或a=3b=2,
所以e=ca=72或213，
故选C．
15.【答案】3x−4y+2=0或
【解答】
解：点(2,2)在圆(x−1)2+y2=1外，
当切线斜率不存在时，即x=2，即x−2=0，符合题意；
当切线斜率存在时，设切线方程方程为y−2=k(x−2)，即kx−y+2−2k=0，
圆心到直线的距离d=|k+2−2k|k2+(−1)2=1，解得k=34，
即此时切线为34x−y+2−32=0，即3x−4y+2=0，
综上所述，经过点(2,2)且与圆相切的直线方程为3x−4y+2=0或
故答案为：3x−4y+2=0或．
16.【答案】5x−12y+45=0或x−3=0
【解答】
解：圆O的标准方程为x−12+y−22=4，其圆心为1,2．
∵OA=3−12+5−22=13>2，
∴点A3,5在圆外．
当切线的斜率不存在时，直线x=3与圆相切，即切线方程为x−3=0；
当切线的斜率存在时，可设所求切线方程为y−5=kx−3，即kx−y+5−3k=0．
又圆心为1,2，半径r=2，
即圆心到切线的距离d=3−2kk2+1=2，
即3−2k=2k2+1，
∴k=512，
即切线方程为5x−12y+45=0．
综上可知，所求切线的方程为5x−12y+45=0或x−3=0．
17.【答案】4
【解答】
解：直线：kx−y+1−2k=0过定点M(2,1)，
(x+1)2+(y−5)2=9的圆心(−1,5)，半径为：3；
定点与圆心的距离为：(2+1)2+(1−5)2=5．
过定点M的直线：kx−y+1−2k=0与圆：(x+1)2+(y−5)2=9相切于点N，
则|MN|=52−32=4．
故答案为：4．
18.【答案】6；102
【解答】
解：圆C：x2+y2=2的圆心坐标为C(0,0)，半径r=2．
圆心C到直线x+y+1=0的距离d=12=22，
∴直线x+y+1=0被圆C：x2+y2=2所截得的弦长为：
222−222=6；
圆心C到直线x+y+3=0的距离d1=32=322，
则由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线，
切线长的最小值为3222−22=102．
故答案为：6；102．
19.【答案】3
【解答】
解：由题得圆的标准方程为(x+1)2+y2=2，设圆心为C，
所以圆C的圆心为(−1,0)，半径为2．
所以|PC|=(1+1)2+12=5，
所以|PA|=52−22=3．
故答案为3．
20.【答案】解：(１)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
依题意F=01+1+D+E+F=016+4+4D+2E+F=0解得D=−8E=6F=0
所以圆C的方程为x2+y2−8x+6y=0;
(２)圆C的方程可化为(x−4)2+(y+3)2=25，
当切线斜率不存在时，切线方程为x=−1;
当切线斜率存在设为k时，设切线方程为y+2=k(x+1)，即kx−y+k−1=0;
4k+3+k−2k2+1=5 解得k=125
此时切线方程为12x−5y+2=0
综上，所求切线方程为x=−1和12x−5y+2=0
(３)使三角形ABC面积最大，则圆心角为90°，
所以圆心C到直线的距离d=|4+3+b|2=22×5，
解得b=−2或−12，
即直线l的方程x−y−2=0,x−y−12=0
21.【答案】解：(1)∵圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx−2.直线l与圆O相切，
∴圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r=2，
即d=−2k2+1=2，
解得k=±1．
(2)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1、d2，
则d12+d22=|OM|2=32，
所以EF=2r2−d12=22−d12，GH=2r2−d22=22−d22，
所以S=12EFGH=22−d122−d22≤2−d12+2−d22=4−32=52，
当且仅当2−d12=2−d22即 d1=d2=32时，取“=”，
所以四边形EGFH的面积的最大值为52。
(3)k=12时，直线l的方程为：y=12x−2，
设Pa,12a−2，则以OP为直径的圆的方程为xx−a+yy−12a+2=0，
即x2+y2−ax+2−12ay=0，将其和圆O：x2+y2=2联立，消去平方项得：ax−2−12ay−2=0，即为直线CD的方程，
将其化为ax+12y−2y+2=0知该直线恒过定点12,−1，
故直线CD恒过定点12,−1。
22.【答案】解：(1)将圆C：x2+y2−6x+8=0化为标准方程为x−32+y2=1，容易得到圆C的半径为1，圆心C坐标为(3,0)；
(2)当切线的斜率不存在时，所求切线的方程为x=2，此时圆心3,0到直线x=2的距离为1，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设所求切线的方程为y−3=kx−2，即kx−y+3−2k=0，
则圆心到该直线的距离等于圆的半径，则3k+3−2kk2+1=k+3k2+1=1，解得k=−43，
此时，所求切线的方程为y−3=−43x−2，即4x+3y−17=0．
综上所述，所求切线的方程为x=2或4x+3y−17=0．
23.【答案】解:(1)设圆M的方程为 x−a2+y−b2=r2 r>0．
根据题意，得 1−a2+−1−b2=r2−1−a2+1−b2=r2a+b−2=0
解得a=b=1, r=2，，
故所求圆M的方程为x−12+y−12=4．
(2)因为四边形PAMB的面积
S=SΔPAM+SΔPBM=12AMPA+12BMPB，
又AM=BM=2，PA=PB，所以S=2PA，
而PA=PM2−AM2=PM2−4，
即S=2PM2−4．
因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得PM的值最小，
所以PMmin=3×1+4×1+832+42=3，
此时，S=2PM2−4=232−4=25．
所以四边形PAMB面积的最小值为25．