数学人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用课前预习课件ppt

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如图①是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,图②是高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.a= ,b是函数h(t)的零点.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?问题1:运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v(t)=h'(t)的正负性是怎样的?问题2:从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,v(t)=h'(t)的正负性是怎样的?问题3:通过上述实际例子的分析,联想其他函数的单调性与其导数正负性的关系.你能得到什么结论?
一、函数的单调性与其导数的关系在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)0得x>1,由f'(x)0,∴f'(x)0,故在(0,+∞)内为增函数;C中,y'=3x2-1,当x>0时,y'>-1;D中,y'= -1,当x>0时,y'>-1,CD均不符合题意,故选B.答案:B
反思感悟运用导数研究函数单调性的方法利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性.
利用导数求函数的单调区间角度1　不含参数的函数求单调区间例3求下列函数的单调区间:
分析:根据利用导数求函数单调区间的步骤将问题转化为解不等式问题进行求解.
反思感悟导数法求单调区间及注意事项1.利用导数求函数单调区间的步骤:(1)确定函数的定义域.(2)求导数f'(x).(3)在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的单调递增区间,解不等式f'(x)0,即4-x2>0,解得-2v(x).2.证明步骤:(1)将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)>0.(2)在x∈(a,b)上,判断f'(x)的符号.(3)若f'(x)>0,说明f(x)在区间(a,b)内是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0即可;若f'(x)0对于任何实数都成立,∴函数的递增区间是(-∞,+∞).答案:(-∞,+∞)