高中5.3 导数在研究函数中的应用图片课件ppt

这是一份高中5.3 导数在研究函数中的应用图片课件ppt，共41页。PPT课件主要包含了第1课时函数的极值，激趣诱思，知识点拨，探究一，探究二，探究三，素养形成，当堂检测，答案B，答案D等内容，欢迎下载使用。

“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,说的是庐山的高低起伏,错落有致.在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最高点.那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢?
一、函数极值的概念1.若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.2.若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.3.极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
名师点析1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.2.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.3.极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
5.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.6.若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.7.如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交替出现的.
微练习如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,下列说法错误的是(　　)
A.-2是函数y=f(x)的极小值点B.1是函数y=f(x)的极值点C.y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零D.y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增
解析:f'(1)=0,但在x=1附近的左、右两侧的导函数值同号,则1不是f(x)的极值点,故选B.答案:B
二、函数极值的求法一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:1.求函数y=f(x)的导数f'(x).2.解方程f'(x)=0,得方程的根x0.3.如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.名师点析导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故须对f'(x)=0的解进行检验.
微练习函数f(x)=x3-3x的极大值等于　　　　,极小值等于　　　　. 解析:由题意知f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0,当x∈(-1,1)时f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时f'(x)>0,所以当x=-1时,函数取极大值f(-1)=2;当x=1时,函数取极小值f(1)=-2.答案:2　-2
利用导数求函数的极值角度1　不含参数的函数求极值例1求下列函数的极值:
分析:按照求函数极值的步骤,借助表格进行求解.
解:(1)函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x=3或x=-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以函数在x=-1处取得极大值f(-1)=e,无极小值.
反思感悟利用导数求函数极值的方法利用导数研究函数的极值时,一般应首先明确函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点.这些点将整个定义域分为若干个区间,最后将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中.观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值.
解:函数f(x)的定义域为R,
令f'(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,解得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
角度2　含参数的函数求极值例2已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当a∈R且a≠ 时,求函数的极值.
解:f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.
∴f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数.∴函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
∴f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数.∴函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2;函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
反思感悟求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求函数的定义域.(2)求函数的导数f'(x).(3)令f'(x)=0,求出全部的根x0.(4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内.(5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则取得极小值.
变式训练2若函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.
(1)当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.(2)当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.当0a时,f'(x)>0.∴f(x)在x=a处取得极小值,且f(a)=a-aln a,无极大值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
由极值求参数的值或取值范围例3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值 .(1)求a,b的值;(2)求函数的另一个极值.
分析:(1)可利用f'(1)=0,f(1)= 建立关于a,b的方程组求解;(2)按照求极值的步骤求解.
解:(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,所以f'(x)=3x2+2ax+b,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
分析:f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,等价于f'(x)=0在(1,+∞)内有两个不等实根.
解:f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
反思感悟根据函数极值求参数的方法根据函数极值的定义可知,如果一个函数是可导函数,那么在极值点处的导数必然为零,即对于可导函数y=f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的必要条件,当已知函数在某一点处取得极值时,该点处的导数值一定为零,据此可建立关于参数的方程进行求解.特别地,利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
变式训练3若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c为(　　)A.2B.6C.2或6D.-2或-6
解析:∵函数f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,它的导数为f'(x)=3x2-4cx+c2,由题意知,在x=2处的导数值为12-8c+c2=0,∴c=6,或c=2,又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,故导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.
当c=2时,f'(x)=3x2-8x+4=3(x- )(x-2),不满足导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.当c=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12)=3(x-2)(x-6),满足导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.故c=6.故选B.
由函数图象分析函数的极值例5已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x) 是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内是增函数;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=- 处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有　　　　　　.(填所有正确的序号) 
分析:通过图象考查f'(x)在相关区间上的符号,以及在相关各点的左右两侧的导数值是否异号,结合极值的定义进行判断.
解析:从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内是增函数,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内是减函数,③错;当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内是减函数,而在区间(1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,④正确.答案:①②④
反思感悟由函数图象研究极值的方法这类函数图象问题是利用导数研究函数极值问题中较为常见的一种题型,解答这类问题的关键是选准出发点.对于导函数的图象,我们重点考查其在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点处,导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若由负值变为正值,则在该点处取得极小值.
变式训练4已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,给出以下结论:①函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)内是增函数;②函数f(x)在(-2,0)内是增函数,在(0,2)内是减函数;③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;④函数f(x)在x=0处取得极大值.其中正确命题的序号是　　　　.(填所有正确命题的序号) 
解析:函数f(x)在(-2,-1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,故①错;因为f'(x)在(-2,0)内大于0,所以函数f(x)在(-2,0)内是增函数,同理f(x)在(0,2)内是减函数,故②正确;③错误;当-20,当0极值问题的综合应用典例已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
分析:求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.
解:令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.当x<-1时,f'(x)>0;当-11时,f'(x)>0.所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.因为方程f(x)=0有三个不同实根,所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.
反思感悟利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基本上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的问题提供了方便.
延伸探究1(改变条件)本例中,若方程f(x)=0恰有两个根,则实数a的值如何求解?解:由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有两个根,则有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.
延伸探究2(改变条件)本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.解:由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.
1.(2020陕西高二期末)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是(　　)A.在区间(-2,2)上为减函数B.在x=-2处取得极小值C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上为增函数D.在x=0处取得极大值解析:由图象知f(x)在(-∞,-2)递减,在(-2,2)递增,在(2,+∞)递减,故f(x)在x=-2取极小值,在x=2取极大值,故选B.答案:B
A.0B.-1C.0或1D.1
解析:∵f'(x)=x3-x2=x2(x-1),由f'(x)=0,得x=0或x=1.又当x>1时f'(x)>0,当03.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是(　　)A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)
解析:∵f'(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值,∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,a=-15,∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),由f'(x)>0得x<2或x>3.答案:B
4.已知a是函数f(x)=x3-12x的极大值点,则a=　　　　　. 解析:∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12.令f'(x)=0,则x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,∴当x=-2时,f(x)取极大值,故f(x)的极大值点是a=-2.答案:-2
5.(2019广东石门中学高二月考)已知函数f(x)= x3+bx2+cx+3在(-∞,-1)和(3,+∞)上为增函数,在(-1,3)上为减函数.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在R上的极值.