2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用备课课件ppt

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费马(1601—1665)是一位17世纪的法国律师,也是一位业余数学家.之所以称费马为“业余数学家之王”,是由于他具有律师的全职工作.17世纪是杰出数学家活跃的世纪,而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就,是17世纪数学家中最多产的明星.他将无穷小的思想运用到求积问题上,已具今日微积分的雏形,这也是费马的卓越成就之一.他在牛顿出生前的13年,提出了有关微积分的主体概念.大约在1637年,他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧.
一、函数在闭区间上的最值一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.名师点析1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数
3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
微思考在开区间或无穷区间上,最值与极值的联系有哪些?提示:当连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值),这里(a,b)也可以换成无穷区间.
微练习设在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内可导,有以下三个命题:①若f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值;②若f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值;③若f(x)在[a,b]上有最值,则最值必在x=a或 x=b处取得.其中真命题共有(　　)A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.3个
解析:由于函数的最值可能在区间[a,b]的端点处取得,也可能在区间[a,b]内取得,而当最值在区间端点处取得时,其最值必不是极值,因此命题①②③都不是真命题.答案:A
二、函数在闭区间[a,b]上最值的求法一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:1.求函数y=f(x)在(a,b)上的极值;2.将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.名师点析如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
微练习函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值的和是　　　　. 答案:-10
三、生活中的优化问题在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.名师点析解决优化问题的一般步骤(1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多,信息量较大,涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.
微思考在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?提示:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
微练习已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A.13万件　　B.11万件　　C.9万件　　D.7万件
解析:∵y=- x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).令y'9;令y'>0得00,得x>1或x0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)0),∴当x=-t时,f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在(0,2)内有极大值g(1)=1-m.h(t)