专项测试03 函数零点-2022年高考数学二轮复习黄金选填题（函数篇）专项测试

专项测试03 函数零点

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022·福建龙岩市·高三）若函数在R上没有零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由函数在R上没有零点，当时，令，解得，若方程无解，可得或，当，令，解得，若方程无解，则，解得.所以的取值范围是.

2．（2022·湖南长沙市·长沙一中高三）已知函数，若函数在区间上至少有4个零点，则m的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】在同一坐标系中作出函数和的图象(如图)，

观察图象可知和的图象在区间上有3个零点，在区间上有4个零点，

又，，∴，∴m的最小值为.

3．（2022·浙江高三学业考试）已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】令.

①当时，，则函数在上单调递增，由于，，由零点存在定理可知，存在，使得；

②当时，，由，解得，.作出函数，直线、、的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点.综上所述，函数的零点个数为.

4．（2022·天津高三）已知函数，若函数有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以，所以为偶函数，

因为有且只有四个不同的零点，所以在上有且仅有2个不同的零点，且，即，当时，，，，

所以在上有且仅有2个不同的零点，所以，解得.

5．（2022·全国高三专题练习）已知函数是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数，若关于x的函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】或，时，，，时，，递减，时，，递增，∴的极小值为，又，因此无解．此时要有两解，则，

又是奇函数，∴时，仍然无解，要有两解，则．

综上有．

6．（2022·江苏常州市·高三期末）设随机变量，函数没有零点的概率是，则（    ）

附：若，则，.

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】函数没有零点，二次方程无实根，，，又没有零点的概率是，，由正态曲线的对称性知：，，，，

，，

，

7．（2022·天津滨海新区·高三月考）已知函数、均是周期为的函数，，，若函数在区间有10个零点，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】当时，由可得，即，的图象是以为圆心，为半径的圆的四分之一，作出函数在上的图象，作出在和上的图象，

在和上，的图象与的图象共有两个交点，因为的图象与的图象在上共有10个交点，所以的图象与的图象在、、上共有8个交点，又与的周期都是2，所以的图象与的图象在上有2个交点，在上有一个交点，

①在上有2个实根，即在上有2个实根，所以，解得，因为，所以；

②在上有1个实根，即在上有1个实根，

所以或，

或，解得或，综上所述：.

8．（2022·天津滨海新区·高三）已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，当时，，易知：在时单调递减，又在区间上为单调函数，且，解得：，令，即，令，

则函数有三个不同的零点，等价于与有三个不同的交点，分别画出与的图象如下所示：

由图可知：当时，与有个不同的交点，故只需满足：当时，与有个不同的交点，即当时，，化简得：，即，令，即与有一个交点，画出的图象如下图所示：

易知，，或，解得：，或，又，即或，综上所述：.

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全对得5分，对而不全得3分，否则得0分）．

9．（2022·山东高三专题练习）若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（    ）

A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点

B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点

C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点

D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点

【答案】ABD

【详解】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，

又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．

10．（2020·广东深圳市·明德学校高三）设函数若函数有三个零点，则实数b可取的值可能是（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】BC

【详解】由题意，函数有三个零点，则函数，即有三个根，

当时，，则，由得，即，此时为减函数，由得，即，此时为增函数，即当时，取得极小值，作出的图象如图：

要使有三个根，则，则实数可取的值可能是,1

11．（2022·福建高三其他模拟）已知，．若有唯一的零点，则的值可能为（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】ACD

【详解】，．只有一个零点，

只有一个实数根，即只有一个实数根．

令，则，函数在上单调递减，且时，，函数的大致图象如图所示，所以只需关于的方程有且只有一个正实根．

①当时，方程为，解得，符合题意；

②当时，方程为，解得或，不符合题意；

③当时，方程为，得，只有，符合题意．

④当时，方程为，得，只有，符合题意．

12．（2020·湖南长沙市·高三）已知，，，若存在唯一零点，下列说法正确的有（    ）

A．在上递增

B．图象关于点中心对称

C．任取不相等的实数，均有

D．

【答案】ABD

【详解】由知在上递增，故A选项正确；

，故图象关于点中心对称，故B选项正确；

由，当时，，递增，图象下凸，此时，故C选项错误﹔

对于D选项：，注意到，故的图象关于点中心对称，而，则在上有唯一零点等价于在无零点，

，当时，因为，则，于是在递增，于是当时，，满足题意﹔当时，，由连续函数的性质可知，一定存在，使得时，则在单调递减，于是时，

而时，，，，，由零点存在定理，在区间上一定还存在零点，与已知矛盾.故.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·河北邯郸市·高三期末）已知是正整数，有零点，则的最小值为__________.

【答案】10

【详解】由得，令，则，令，由，得，当时，单调递减，当时，单调递增，故在处取得最小值，由题意可知：，，.故的最小值为10.

14．（2020·上海奉贤区·高三一模）已知是奇函数，定义域为，当时，（），当函数有3个零点时，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【详解】当时，易知函数单调递减，且时，，时，，其大致图象如下，

在的大致图象如下，

又函数是定义在上的奇函数，故函数的图象如下，

要使函数有3个零点，只需函数的图象与直线有且仅有3个交点，

由图象可知，．

15．（2020·全国高三专题练习）已知函数在区间上只有一个零点，则实数的取值范围是_______

【答案】

【详解】由题意可知，在区间上只有一个根，等同于在区间上只有一个根，等价于与的图像在区间上有唯一一个公共点，由得，则得，当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递减，∴在区间内，当时取极小值也是最小值，∴当，又，，且，∴作的图像如图，

则满足条件的的取值范围是.

16．（2020·山西高三月考）已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________.

【答案】

【详解】，因为，所以，.，又因为，

所以，，所以，，

所以.令，，则，

所以.设，，则，在上单调递增，所以，，故.