专项测试08 函数与不等式恒成立-2022年高考数学二轮复习黄金选填题（函数篇）专项测试

专项测试08  函数与不等式恒成立

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022·云南昆明市·昆明一中高三）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，所以；又因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，只需要，

因为在单调递增，所以，所以.

2．（2022·长宁区·上海市延安中学高三）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】当时，的最小值是由知，当时，的最小值是当时，的最小值是要使，则，解得：或

3．（2022·山东高三专题练习）已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）

A．   B．  C．   D．

【答案】D

【解析】令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以,故应选D.

4．（2020·河津中学高三）若函数(其中a为参数)在R上单调递增，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】函数在R上单调递增，等价于在R上恒成立.设，则在上恒成立，所以解得.

5．（2022·全国高三专题练习）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【详解】设，因为，变形为，即，等价于，因为，令()，则，即.设()，则.当时恒成立，故在上单调递增，.所以，k的最大值为0.

6．（2022·全国高三其他模拟）已知数列满足，.若恒成立，则实数的最大值是（    ）(选项中为自然对数的底数，大约为)

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由得，设，

，在单调递减，在单调递增，故，则，

所以， ，由得易得，记，所以，记，，当即得时单调递增，当即得时单调递减，所以，得，

7．（2022·浙江嘉兴市·高三月考）已知函数，其中．若对于某个，有且仅有3个不同取值的，使得关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】显然，否则，于是，即，这与不等式的解集为矛盾．又易知时，不等式恒成立．于是仅需再分析的情形．易知，由知或，所以．所以原问题等价于关于的方程有两解，设，则，时，，递减，时，，递增，所以，时，，时，，所以由关于的方程有两解，得，所以．

8．（2022·上海高三专题练习）给出下列四个命题：（1）函数的反函数为；（2）函数为奇函数；（3）参数方程所表示的曲线是圆；（4）函数，当时，恒成立.其中真命题的个数为（    ）.

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】D

【详解】（1）函数的值域为，因此函数的反函数为，故本命题是假命题；（2）是奇数，故函数为奇函数，故本命题是真命题；（3），故本命题是假命题；

（4），而，故本命题是假命题.

二、多择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全对得5分，对而不全得3分，否则得0分）．

9．（2020·广东佛山市·高三月考）命题已知为锐角三角形，不等式恒成立，命题在上恒成立，在上恒成立，则真命题的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【详解】因为为锐角三角形，所以,所以，则，所以，所以，又，所以不等式恒成立，故命题p是真命题；

命题在上恒成立，在上恒成立，故命题q是假命题

所以，是真命题.

10．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】由知：，令，则，

∴在上单调递减，即，当时，；当时，；A：，有，，所以；B:由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且时，，，，有，，所以无法确定的大小.

11．（2020·江苏盐城市·盐城中学高三月考）对于定义在上的函数，若存在正实数，，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【详解】对于A. 可化为，，，不等式在上不恒成立，所以不是“控制增长函数”；对于B.  可化为，，即恒成立.

又，故只需保证恒成立即可. ，当时，不等式恒成立，是“控制增长函数”；对于C.  ，时，为任意正数，恒成立，是“控制增长函数”；对于D.  化为，

，令 ，则，

当时，不等式恒成立，是“控制增长函数”.

12．（2020·福清西山学校高三月考）记函数与的定义域的交集为，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BD

【详解】根据函数的新定义，可得两个函数的图象有一个交点，且交点的两侧图象一侧满足，另一侧满足，对于A中，令，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数 取得最小值，最小值为，即，所以恒成立，不符合题意；

对于B中，令，可得，所以函数单调递增，

又由，设满足，且，则对任意，不等式恒成立，符合题意；对于C中，函数，，根据一次函数和二次函数的性质，可得函数的图象由两个交点，此时不满足题意；对于D中，令，可得，所以在定义域单调递增，又由，所以方程只有一个实数根，设为，则满足对任意，不等式恒成立，符合题意.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·辽宁高三期中）若（且）恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【详解】当时，由和的图象可得，此时两个函数图象有一个交点，不等式不可能恒成立；当时，，不等式可化为，由，令，，当时，，递增，当时，，递减，则，则，可得，

14．（2020·浙江高三月考）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.

【答案】

【详解】

令，，∴在上单调递增.∵，，

∴，∴恒成立，令，只需，，

∴单调递增，∴单调递减，时，的最大值为，∴，∴的最小值为.

15．（2020·全国高三月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

【详解】，则，两边加上得到，单调递增，，即，令，则，因为的定义域为时，，单调递增，，，单调递减，

，.

16．（2020·山西高三期中）当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是__．

【答案】

【详解】当时，不等式恒成立，即为对恒成立，

①当即时，恒成立；②当，即时，恒成立，

等价为，设，

，可得时，，递增；时，，递减，可得在处取得最大值，且为，则；③当，即时，恒成立，等价为，设，，可得时，，递减，可得，则，综上可得，k的范围是．