专题4.5 一元函数的导数及其应用（单元测试卷）-2022年新高考数学一轮复习讲练测

专题4.5 一元函数的导数及其应用单元测试卷

一、单选题

1．（2020·四川内江�高二期末（理））如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，．

故选：C．

2．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数在处取得极值，则（    ）

A．1 B．2 C． D．-2

【答案】C

【解析】

，依题意，即.

此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.

所以.

故选：C

3．（2020·河南宛城�南阳华龙高级中学高二月考（理））已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

函数的导数为，

可得在处的切线的斜率为，

即，为倾斜角，可得.

故选：A.

4．（2020·运城市景胜中学高二月考（文））函数在处的切线如图所示，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为切线过和,所以,

所以切线方程为,取,则,所以,

所以.

故选:A.

5．（2020·重庆高二期末）已知函数的导函数为，若，则（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】B

【解析】

由题意知：.

因为，所以，解得.

故选：B.

6．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

令，则，故为上的增函数，

所以即，

故选：D.

7．（2020·吴起高级中学高二期末（文））已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（   ）

A．  B． 

C． D．

【答案】A

【解析】

解：时，，则单调递减；

时，，则单调递增；

时，，则f（x）单调递减．

则符合上述条件的只有选项A．

故选A．

8．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为，，所以

即在是减函数，因为，所以，即.

故选：A.

9．（2016·福建连城�高三期中（理））设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则（   ）

A.        

B.

C.        

D.

【答案】A

【解析】

由于，为减函数，

故，

同理.

10．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数，则方程实根的个数为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

由可得或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处取得极小值，极小值为，绘制函数的图象如图所示，观察可得，方程的实根个数为3，故选B

二、多选题

11．（2020·山东潍坊�高二期末）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】

对于A选项，，

则，

当时，恒有，是凸函数；

对于B选项，，

则，当上，恒有，是凸函数；

对于C选项，若，

则在上恒成立，是凸函数；

对于D选项，若，

则，则在上恒成立，

故不是凸函数.

故选：ABC.

12．（2019·山东五莲�高二期中）如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（    ）

A．在处导函数有极大值 B．在，处导函数有极小值

C．在处函数有极大值 D．在处函数有极小值

【答案】ABCD

【解析】

根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.

根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.

故选：ABCD

13．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．当时，

【答案】AD

【解析】

设，函数单调递增，所以，所以，即有，故A正确；

设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故 B错误；

，不是恒小于零，所以不恒成立，故C错误；

当时，，故，函数单调递增，

故，

即，又，所以，

所以，所以有，故 D正确.

故选：AD.

14．（2020·全国高三其他）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，

B．函数有2个零点

C．的解集为

D．，，都有

【答案】CD

【解析】

当时，，由奇函数定义可知，，故A错误；

对于B，当时，，可知是函数的一个零点．当时，

令，解得，即是函数的一个零点．

由奇函数的性质可知，是函数的一个零点，因此函数有3个零点，

故B错误；

对于C，当时，令，解得，当时，

令，解得，综上可知，

的解集为，故C正确；

对于D，，，都有．当时，

，当时，是增函数，当时，是减函数，

且时，，根据奇函数图象的性质可知，时，

，，可知，故D正确，

故选:CD．

三、填空题

15．（2020·辽宁葫芦岛�高二期末）已知函数的导函数为，且满足﹐则________．

【答案】

【解析】

由题可知：，则

所以，则

故答案为：

16．（2020·四川南充�高二期末（理））如果曲线在点处的切线垂直于直线，那么点的坐标为___________．

【答案】(1,0)

【解析】

曲线在点P处的切线垂直于直线,

曲线在点P处的切线的斜率,

函数的导数为,

设,

,解得,

,

17．（2020·全国高三课时练习（理））若函数对任意的，恒成立，则x的取值范围为             .

【答案】

【解析】

∵是上的奇函数，，则在定义域内为增函数，

∴可变形为，∴，将其看作关于的一次函数，可得当时，恒成立，若，，若，，解得．

四、双空题

18．（2020·全国高二单元测试）已知函数，设x=1是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.

【答案】       

【解析】

由题意可得：

是的极值点

即   

令，可得

的单调递增区间为

19．（2020·辽宁高二期末）已知函数在处取得最小值m，函数，则________，曲线在点处的切线的斜率为________.

【答案】       

【解析】

，

因为，

所以，当时，单调递减；

当时，，单调递增.

从而时，.

因为，

所以，

故曲线在点处的切线的斜率为.

故答案为：；.

20．（2020·湖北荆门�高二期末）设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则_________，使得成立的x的取值范围是_________．

【答案】3       

【解析】

∵是奇函数，∴，

设，则，，

∴在上单调递减，

由得，即，

∴，得，

故答案为：3；．

21．（2020·北京海淀�人大附中高三其他）已知函数.

（1）的零点是______；

（2）若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.

【答案】1和        

【解析】

 (1)由,当时,.

当时,令有

(2)画出的图象有

因为过定点(0,−1),

要使的图象与直线有且只有三个公共点,则,

当时,函数的导数,函数在点(0,−1)处的切线斜率

,此时直线和只有一个交点.

当时,因为当时,,此时直线与的图象仍有三个交点.由图象知要使的图象与直线有且只有三个公共点,

则满足,

故答案为：(1). 或 (2). (0,2)

五、解答题

22．（2020·辽宁葫芦岛�高二期末）已知函数.

（1）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；

（2）求函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

（1）当时，，

因为，

所以，

所以曲线函数在点处的切线方程为：．

（2）定义域为．

因为，，

①当时，恒成立．

所以函数在上单调递增．

②当时，令，则或．

所以当时，或；

当时，，

所以函数在和，上单调递增，在，上单调递减．

综上可知，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和，上单调递增，在，上单调递减．

23．（2020·四川内江�高二期末（理））已知函数，.

（1）求的单调区间；

（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.

【答案】（1）减区间是，增区间；（2）2．

【解析】

（1）由已知，当时，，当时，，

∴的减区间是，增区间；

（2）函数的定义域是，定义域是，

不等式为，

∴不等式在上恒成立，

∴在上恒成立，

设，则，时，，，

又在上是增函数，，，

∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，

，，

，∴，

∵，∴，∴整数的最小值为2．

24．（2020·四川南充�高二期末（理））已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）

【解析】

（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）

又

当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）

所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数

（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0

由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，

又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意

当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，

所以：

令（a＞0）

所以：

在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0

所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，

故：a的取值范围为[1，+∞）

25．（2020·四川德阳�高三其他（理））已知函数，．

（1）求函数的极值；

（2）当时，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）∵，，∴，

当时，恒成立，函数单调递减，函数无极值；

当时，

时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增；

故函数的极小值为，无极大值.

（2）证明：令，

，

故 ，

令的根为，即 ，

两边求对数得：，即 ，

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴，

∴，即原不等式成立.

26．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））已知函数．

（1）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1) 在和上单调递增，在上单调递减. (2)

【解析】

（1）由题意，函数，

则，

因为是函数的极值点，所以，故，

即，令，解得或.

令，解得,

所以在和上单调递增，在上单调递减.

（2）由，

当时，，则在上单调递增，

又，所以恒成立；

当时，易知在上单调递增，

故存在，使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，则，这与恒成立矛盾.

综上，.

27．（2020·河北石家庄�高二期末）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，是方程的两个不同的实数根，求证：．

【答案】（Ⅰ）单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

（1）依题意，，

故当时，，当时， ，

∴单调递减区间是，单调递增区间是 ；

（2）因为，是方程的两个不同的实数根，

∴，两式相减得，解得 ，

要证：，即证：，即证：，

即证，

不妨设，令，只需证，

设，

∴，

令，∴，

∴在上单调递减，

∴，∴，∴在为减函数，        

∴．即在恒成立，

∴原不等式成立，即．