2022年新高考重难点汇编 重难点01 数列练习题

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重难点01 数列



新高考中考查数列难度不大，但解答题中作为了必考内容，一般是解答题的前两题，会考察开放式的题型。知识点考查比较简单，也是新高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一知识点是不容失分的。本专题是通过对高考中常见高考题型对应知识点的研究而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加熟练，做高考数列题目更加得心应手。

1、通项公式的求法
1）累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
2）累乘法（叠乘法）：
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
3）由数列的前n项和与的关系求通项公式
若已知数列的前n项和，则不论数列是否为等差数列或等比数列，当时，都有，可利用公式求通项。
4）构造新数列
对于的形式，主要是利用的形式进行转化；
对于 ，主要采用的形式进行转化运算；
对于 一般采用转化成的形式进行转化运算。
2、数列求和问题
1、常见裂项求和公式：
，，＝－．
；
2、错位相减求和问题
（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
3、分组求和问题，分为三种，一种是绝对值分组求和问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题，还有一种是分奇偶项求和。

热点1：由递推式求通项公式；热点2：数列求和；热点3：数列中的新定义与最值（范围）问题；

A卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模）记数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B．是等差数列 C．是等比数列 D．
【答案】C
【分析】当时，，所以选项A错误；推理得到，所以选项B错误，选项C正确；, 所以选项D错误.
【详解】解：当时，，，所以选项A错误；
因为，，
所以，化为
所以数列是等比数列. 所以选项B错误，选项C正确；
,所以选项D错误.故选：C
2．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高三期中）“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件． 已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】先依次求出各层货物总价，再利用裂项抵消法进行求解.
【详解】由题意，得第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，
第三层货物总价为万元，，第层货物总价为万元.
设这堆货物总价为万元，则
，
两式相减，得，
即，
则，
令，得.故选：B.
3．（2021·江西高安·模拟预测）已知等差数列，其前项和为，有最小值，若，则使成立的的最大值为（ ）
A．17 B．16 C．15 D．14
【答案】C
【分析】依题意可得，，再根据，即可得到，，且，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得；
【详解】解：因为等差数列的前项和为有最小值,所以，，所以，因为，所以，，且，所以，，所以当时，所以使成立的的最大值为；故选：C
4．（2021·全国全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前n项和为，则（ ）
A．4950 B．4953 C．4956 D．4959
【答案】C
【分析】由题利用累加法可得，进而可得，分类讨论的取值，即求.
【详解】由，可得，
根据累加法可得所以，
故，当时，；当时，；当时，；当时，， 因此.故选：C.
5．（2021·江苏徐州·高三期中）已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则非零实数的值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据求出通项公式，利用可求出，求出，根据等差数列的特点可得.
【详解】因为等比数列的前项和，
则当时，，则，解得，
则，即是以为首项，为公比的等比数列，则，
因为是等差数列，则通项公式不能出现次方项，所以，解得.故选：C.
6．（2021·辽宁实验中学高三期中）数列中，，，使对任意的（）恒成立的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是等于，即可得答案.
【详解】由已知可得，数列：，可得规律为；；；此时将原数列分为三个等差数列：，；
，；;
因为，
所以满足对任意的恒成立的最大值为．故选：B.
7．（2021·山东泰安·高三期中）若数列满足，，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
【答案】C
【分析】由题意得数列是周期为3的数列，即可得解.
【详解】由，代入可得，同理可得.
由，得，从而有，即，
从而有，所以数列的周期为3，所以.故选：C.
8．（2021·河北衡水中学模拟预测）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【答案】B
【分析】根据递推公式，构造新数列为等比数列，求出数列通项，再并项求和，将用表示，再结合通项公式，即可求解.
【详解】由得，
∴为等比数列，∴，
∴，，
∴，
①为奇数时，，；
②为偶数时，，，
∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解，综上所述，.故选：B.
【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.
二、多选题
9．（2021·河北邯郸·高三期末）Look—and—say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，….若Look—and—say数列第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的第四项为111221 B．数列中每项个位上的数字不都是1
C．数列是等差数列 D．数列前10项的和为160
【答案】AD
【分析】A.列举前四项可得答案；B. 根据数列中最后读的数字是1可得答案；C.列举前四项可得答案；D.列举可得数列中数的规律，进而可求和.
【详解】，，，，A正确；
数列中最后读的数字总是1，故数列中每项个位上的数字都是1，B错误；
数列：11，21，11，21，…，不是等差数列，C错误；
通过列举发现数列的第一，三，五，七，九项都为11，第二，四，六，八，十项为21，
故前10项的和为，D正确．故选：AD．
10．（2021·山东·泰安一中模拟预测）我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（ ）
A．长安与齐国两地相距1530里 B．3天后，两马之间的距离为里
C．良马从第6天开始返回迎接驽马 D．8天后，两马之间的距离为里
【答案】AB
【分析】A, 设良马第天行走的路程里数为，驽马第天行走的路程里数为，求出良马和驽马各自走的路程即得A正确；B，计算得到3天后，两马之间的距离为里，即可判断B正确；
C,计算得到良马前6天共行走了里里，故C不正确；
D，计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.
【详解】解：设良马第天行走的路程里数为，驽马第天行走的路程里数为，则.良马这9天共行走了里路程，
驽马这9天共行走了里路程，故长安与齐国两地相距里，A正确.
3天后，良马共行走了里路程，驽马共行走了里路程，故它们之间的距离为328.5里，B正确.
良马前6天共行走了里里，故良马行走6天还末到达齐国，C不正确.
良马前7天共行走了里里，则良马从第7天开始返回迎接驽马，故8天后，两马之间的距离即两马第9天行走的距离之和，由，知8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.故选：AB
11．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意可知，，B选项错误.
，，A正确.
，
，C正确.
，.D选项正确.
故选：ACD
12．（2021·江苏如皋·高三期中）观察如下数阵：

该数阵特点：在第行每相邻两数之间都插入它们的和得到第行的数，.设第行数的个数为，第行的所有数之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由条件可得，即可判断A，然后求出可判断D，由，，，，可判断B、C.
【详解】第行个数为，第行个数为，∴，A对；
，，，，，则B对C错；
，∴，∴，
∴是2为公比的等比数列，∴，∴，∴，D对，故选：ABD
三、填空题
13．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知数列满足，则_________．
【答案】50
【分析】根据所给递推关系，可得，两式相减可得即相邻奇数项的和为2，即可求解.
【详解】
两式相减得则
，故答案为：50
14．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】项和转换可得，可得数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式，分段表示即得解
【详解】由题意，故 两式相减可得：，
在中，令，可得，即
因此数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列
有故答案为：
15．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期中）在正项数列中，，且，令，则数列的前2020项和___________．
【答案】
【分析】利用关系式的变换求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法的应用求出数列的和．
【详解】正项数列中，，
整理得：，则，即，
∴数列是以为公比的等比数列．由于，则，即，
∴，∴，
∴，则．故答案为：﹒
16．（2021·湖北·华中师大一附中高三期中）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金（万元）的3倍，已知．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元）
【答案】100
【分析】根据题意，得到五年累计总投入资金的表达式，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意知，五年累计总投入资金为
，
当且仅当时等号成立，所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为100万元.
17．（2021·辽宁·育明高中高三期中）已知递增数列的前项和为，且满足（），则首项的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据前项和的公式得到递推公式，进而化简整理得到，从而得列是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从起奇数项也是以4为公差的等差数列，从而知需满足，然后将用表示后，解不等式组即可求出结果.
【详解】因为，所以，
当时，，当时，，
则，
即， 又，故，
所以数列是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从起奇数项也是以4为公差的等差数列，若数列单调递增，所以需满足，又，
所以，解得，故的取值范围为.
四、解答题
18．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）设是等比数列的前项的和，，且、、成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设为实数，为的前项的和，为数列的前项的和，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）求出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式求出、，进而可求得的值.
（1）解：设等比数列的公比为，则，
由已知可得，即，即，
则，解得，因此，.
（2）解：由（1）可知，则，
，则，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，因此，.
19．（2021·辽宁·高三期中）已知等差数列{an}满足：S6=21，S7=28，其中是数列的前n项和.
（1）求数列的通项；（2）令bn=，证明：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）将条件用首项，公差表示，计算即可.（2）利用裂项相消法求和即可.
（1）数列为等差数列，依题意S6=21，S7=28，所以，所以d=1，所以
（2）


20．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）设Sn是等比数列{an}的前n项和，已知S2＝4，a32＝3a4．
（1）求an和Sn；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1），；（2）Tn＝1－
【分析】（1）根据等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可；
（2）由（1）写出，利用裂项相消法求和即可.
（1）设{an}的公比为q，则，而，
所以解得，而，所以 ，则；
（2）bn＝＝＝＝2(－)，
∴Tn＝2(－＋－＋…＋－)＝2(－)＝1－．
21．（2021·江苏海安·高三期中）已知数列满足a1＝1，an＋1＝.（1）从下面两个条件中选一个，写出b1，b2，并求数列的通项公式；①bn＝a2n－1＋3；②bn＝a2n＋1－a2n－1．（2）求数列的前n项和为Sn．
【答案】（1）所选条件见解析，；；（2）.
【分析】（1）分为奇数和为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.
（2）分为奇数和为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果.
（1）当为奇数时，，则，且，
则，即，
当为偶数时，，则，且，，则，即，
若选①，则，则；
若选②，则，则，
（2）当为偶数时，


当为奇数时，


.
22．（2021·陕西安康·高三期中）已知数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）若，，求的最小值.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）当时，可得，两式相减求得，得到数列为等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由，得到，结合乘公比错位相减法，即可得数列的前n项和.（3）由，得到，令，结合的单调性，求得的最大值，即可求解.
（1）解：由题意，数列的前n项和为，且
当时，可得，
两式相减得，即，所以，
令，可得，解得，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由，可得，
则，
可得，
两式相减得，所以.
即数列的前n项和.
（3）解：由，即，
令，则，
当时，，当时，，即，即有，
所以当时，取得最大值，最大值为，所以，故的最小值为.























B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·陕西临渭·一模）已知数列的前项和为，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当时，求出，当时，利用可得是等比数列，求出其通项公式即可求出结果.
【详解】当时，因为，所以.
当时，，所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.故选：A
2．（2021·上海虹口·一模）设等差数列的前项和为，如果，则（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】B
【分析】由可得，，结合前项和公式，判断，的符合可得正确选项.
【详解】∵ ，∴ ，，
∵数列为等差数列，∴ ，，∴ ，，故选：B.
3．（2021·江苏盐城·高三期中）已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变换得到，得到是首项为，公比为的等比数列，，计算得到答案.
【详解】，，易知，故，故是首项为，公比为的等比数列，，，故.故选：C.
4．（2021·四川·高三期中）数列满足对任意，恒成立，且为常数，若是的前项和，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件得到，，从而得到，，再根据求解即可.
【详解】数列满足对任意，恒成立，
所以，即，
，解得.
所以.故选：C
5．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）构造数组，规则如下：第一组是两个1，即，第二组是，第三组是，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和得到下一组．设第n组中有个数，且这个数的和为．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察和的数组中的数的差异，它们之间的联系，得出的递推关系式，构造出等比数列求得通项公式，从而易得．
【详解】设中数组是，即，
则的数组是，比的数组中多了这些数：，这些数相加．除只出现1次外，均出现2次，而，
所以，因此，又，，
所以是等比数列，公比为3，，所以．从而，故选：D．
6．（2021·山东烟台·高三期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.
【详解】根据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列， ，
数列是首项为2，公差为5的等差数列，，
数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，.
对于A，，，，错误
对于B，，，，正确.
对于C，，，，，错误.
对于D，，，，，错误.
故选：B.
7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分类讨论确定的表达式，再根据恒成立问题的解法即可求出．
【详解】当时，，符合题意；当时，恒成立，
当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，若为偶数，则不等式变形得，，即，
若该不等式恒成立，则，即，所以设，
，，
所以当时，，此时，此时该不等式不可能恒成立；
当时，，若该不等式恒成立，只需，
解得（舍去）或，综上，；
若为奇数，不等式变形得，，满足题意；
综上所述，实数的取值范围是．故选：A．
8．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知数列满足（，为自然对数的底数），且对任意的都存在，使得成立，则数列的首项须满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断数列的单调性，再根据选项作取舍.
【详解】设，令，得到.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故，即（当且仅当时取等号）.
故（当且仅当时取等号）.
即.要使对任意的都存在，使得成立，
显然时，，一定能满足题意；当时，，如图此时不满足题意；
当时，，如图此时满足题意；综上，.故选：C

二、多选题
9．（2021·福建·三明一中高三期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若点在函数为常数的图象上，则为等差数列
B．若为等差数列，则为等比数列
C．若为等差数列，，，则当时，最大
D．若，则为等比数列
【答案】AB
【分析】结合等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A，依题意，所以为等差数列，A正确.
B，依题意，，所以为等比数列，B正确.
C，，所以或，最大，C错误.
D，，所以不是等比数列.故选：AB
10．（2021·福建省泉州第一中学高三期中）已知数列满足，，为数列的前n项和.若对任意实数，都有成立，则实数的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABCD
【分析】由和与通项的关系先求出，进而求出，，再用裂项相消求出即可获解.
【详解】设数列的前项和为，由题意得，，当时，，即
当时，所以，当时，，也满足，所以
故
故，所以实数的取值范围为故选：ABCD.
11．（2021·湖北·高三期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则数列的前10项和为49
C．若，则的最大值为25
D．若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为2021
【答案】CD
【分析】由与的关系求出，可判断A；由题意求出数列的前10项可判断B；由等差数列的和结合二次函数的性质可判断C；由等差数列的性质与求和公式可判断D
【详解】对于A：当时，，
当时，，
检验时，所以，故A错误；
对于B：因为，则，
所以数列的前10项和为，故B错误；
对于C：由可知数列是等差数列，则，
易知时，的最大值为25，故C正确；
对于D：由数列为等差数列，且，，
所以，，
所以当时，的最大值为2021，故D正确；故选：CD
12．（2021·辽宁丹东·高三期中）参加工作年的小郭，因工作需要向银行贷款万元购买一台小汽车，与银行约定：这万元银行贷款分年还清，贷款的年利率为，每年还款数为万元，则（ ）
A． B．小郭第年还款的现值为万元
C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”
【答案】BD
【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前项和公式求出，再设小郭第3年还款的现值为，根据复利规则求出．
【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，
小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误，
设每年应还元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为，
银行贷款元10年后的本利和为．，
，即，故A错误．
设小郭第三年还款的现值为，则，所以，故B正确；故选：BD
三、填空题
13．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高三期中）各项均为正数且公比q＞1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝4，a2+a4＝5，则的最小值为_____．
【答案】8
【分析】先根据等比数列的性质求出首项、公比，然后将结论表示出来，最后利用换元法结合基本不等式求最小值，注意取最小值时等号要成立．
【详解】解：由题意：a1a5＝a2a4＝4，又由a2+a4＝5，又公比q＞1，
∴a2＝1，a4＝4，故，故q＝2，．∴，．
∴，令t＝2n﹣1∈{1，2，22，23，……}，
则原式，当且仅当t＝＝2，即n＝2时取等号．故答案为：8．
【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查用基本不等式求最值，求最值时要注意等号成立的条件．
14．（2020·海南·三模）已知数列满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由，得，所以，通过解不等式，即可得到本题答案.
【详解】由，整理得，
等式两边同时除以得，所以为等差数列，且首项为-5，公差为1，所以，
所以，所以，解得，则实数的取值范围.
故答案为：
【点睛】本题主要考查数列与不等式恒成立问题的综合应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，体现了转化和化归的数学思想.
15．（2021·湖北省团风中学模拟预测）将个数排成行列的一个数阵，如图：

该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的是______．（填写所有正确答案的序号）
【答案】①③④
【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，进而可得，再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各命题的真假．
【详解】∵，，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），①正确；
∴，③正确；
当时，，②不正确；
∴，
，④正确；
故答案为: ①③④.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
16．（2021·广东顺德·高三阶段练习）已知数列，，，且，则数列的前100项的和为______．
【答案】150
【分析】由题目条件可以得到，进而得到，由此得出是常数数列，最后求出答案.
【详解】根据题意，所以，即是常数数列，而，所以的前100项的和为：.故答案为：150.
17．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，那么___________.
【答案】
【分析】利用与关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项和求和公式可求得，由此可得，采用裂项相消法可求得结果.
【详解】当时，，解得：；
当时，，；
数列是以为首项，为公比的等比数列，，，
，
.故答案为：.
18．（2021·湖南·长郡中学模拟预测）如果数列满足，且，则这个数列的第项等于___________.
【答案】
【分析】由，化简得，则为等差数列，结合已知条件得．
【详解】由，化简得，且，，
得，所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即故答案为：
【点睛】本题关键在于利用已知递推关系构造等差数列，进而求出通项公式．
四、解答题
19．（2021·福建·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足．
（1）求数列的前项和；（2）记，证明：．
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）根据，整理后，根据等差数列的性质可知是首项为1，公差为1的等差数列（2）先对进行放缩，然后利用分母有理化进行裂项后求和.
（1）解：由题意得：
等式两边同乘，得
整理得，由，得，即是首项为1，公差为1的等差数列
∴，；
（2），

∴，
，∴，
综上可证：．
20．（2021·上海嘉定·一模）某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（1）试求的表达式；（2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.
【答案】（1）（2）该新产品将从2029年开始并持续赢利，理由见解析
【分析】（1）由题意求出累计投入，可判断出每年的收入为等比数列，根据等比数列求和公式求解出累计收入，从而表示出；（2）由（1）可得，根据的正负判断出从第4项开始单调递增，再判断的正负，从而判断出该新产品将从第9年开始并持续赢利.
（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入为（千万元）.
设第年的收入为，前年的累计收入为，由题意得，，
所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列，则有（千万元），
（千万元），
所以，即（千万元）.
所以的表达式为.
（2）因为，所以当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
又，，，
所以该新产品将从第9年开始并持续赢利.所以该新产品将从2029年开始并持续赢利.
【点睛】解答本题的关键是，能将实际问题转化为等比数列问题求解，求解第二问时，需要判断的单调性，此时可通过判断（或）进行判断，从而降低利用导数判断其单调性的难度.
21．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）已知正项数列的前项积为，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求n的最小值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）利用前n项积对题干中的条件变形消去，得到，再利用构造法得到，得到数列为等比数列；（2）结合第一问的结论，得到的通项公式，然后进行放缩，求出，再结合，得到，综上，求出n的最小值.
（1）因为，所以，即，
同理得所以，
因为，所以，所以得，
则，因为当时，，得，所以不恒等于0，
所以，即是首项为，公比为的等比数列，
则，即.
（2）由（1）可得，所以，
所以，所以当时，，
当时，，所以的最小值为.
【点睛】数列与不等式相结合的题目，要充分使用数列的通项公式，要进行适当的放缩，而放缩的方法通常可以利用分离常数法，放缩为等比数列，或放缩为裂项相消法等，朝着我们熟悉的方向或者求和好处理的思路来进行.
22．（2021·江苏如皋·高三期中）已知各项均为正数的数列，满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列.（1）求证：数列为等差数列；（2），记的前项和为，若，求正整数的最小值.
【答案】（1）证明见解析（2）7
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的性质列式，然后结合等差中项的定义变形，从而完成证明；
（2）由等差数列通项公式求出，再得，用裂项相消法求和然后解不等式可得．
（1）由题意知，∴，，
∴，∴为等差数列.
（2）由（1）知为等差数列，且，
∴首项为2，公差为1，∴，∴，
∴，∴，

由，∴正整数的最小值为7.
23．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知数列前n项和为，且，记.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1），令，求出，再结合时，利用结合求出，然后结合和时，验证是否满足；（2）把的通项公式带入中，化简，然后分离成两项之间的和的关系，借助前面的进行抵消求和.
(1)，当时，；
当，时，，.
当时也符合, .
(2)

.
24．（2021·天津静海·高三阶段练习）设等差数列的首项为，它的前10项和为，数列成等比数列，．(1)求数列与的通项公式；(2)设是数列的前n项和，求证：．(3)求．
【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3).
【分析】（1）由已知，结合等差数列前n项和公式、等比数列通项公式求基本量，进而写出与的通项公式；（2）由（1）得，应用错位相减法求，即可证结论.
（3）首先求得，再结合等比数列前n项和公式求，即可得结果.
(1)由题设，若的公差为，则，而，可得，
∴，又，，
若的公比为，则，故，∴.综上，，.
(2)令，则，故，
∴，，
∴，得证.
(3)，
∴.