2022年新高考重难点汇编 重难点02 三角函数与解三角形练习题

新高考中，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式 及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化。

1、三角函数的图象与性质

1、已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

2、求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解．

3、对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验

f（x0）的值进行判断．

4、若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.

2、利用正、余弦定理求边和角的方法

（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．

（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

3、求三角形面积的方法：

1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．

2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.

热点1、新题型的考查

（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。

热点2、与其它知识交汇的考查

（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。

A卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1．（2021·上海虹口·一模）设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的图像关于直线对称

C．在上单调递增 D．过点的直线与函数的图像必有公共点

2．（2021·广东·珠海市模拟预测）已知为锐角的内角，满足，则（    ）

A． B．， C．， D．，

3．（2021·江苏盐城·高三期中）若函数与在上的图象没有交点，其中，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·广东佛山·模拟预测）（    ）

A．2 B．－2 C．1 D．－1

5．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）对于角的正切的倒数，记作，称其为角的余切．在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若满足，则的取值范围是（    ）

A．     B．    C．     D．

6．（2021·四川·绵阳中学实验学校模拟预测）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·河南平顶山·高二期中）在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．（2019·全国高考真题）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点

③在（）单调递增 ④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

二、多选题

9．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知某物体作简谐运动，位移函数为，且，则下列说法正确的是（    ）

A．该简谐运动的初相为      B．函数在区间上单调递增

C．若，则   D．若对于任意，，有，则

10．（2021·福建·模拟预测）已知函数，若函数的图象在区间上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是（    ）

A．在上有且仅有5个零点  B．在上有且仅有3个极大值点

C．的取值范围是           D．的取值范围是

11．（2021·江苏淮安·高三期中）在△中，角的对边分别为，则下列的结论中正确的是（    ）

A．若，则△一定是等腰三角形

B．若，则

C．若△是锐角三角形，则

D．已知△不是直角三角形，则

12．（2021·江苏扬州·模拟预测）在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（    ）

A．      B．存在时，使得

C．给定正整数，若，，且，则

D．设方程的三个实数根为，，，并且，则

三、填空题

13．（2021·福建省泉州第一中学高三期中）拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仓定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心怡为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若∠BAC=60°，DF=，利用拿破仑定理可求得AB+AC的最大值_____

14．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模）如图，某小区有一块扇形OPQ空地，现打算在上选取一点C，按如图方式规划一块矩形ABCD土地用于建造文化景观．已知扇形OPQ的半径为6米，圆心角为60°，则矩形ABCD土地的面积（单位：平方米）的最大值是______．

15．（2021·上海·一模）已知函数，若对任意，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为______.

16．（2022·浙江·模拟预测）已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，与BC交于点D，M是AD的中点，延长BM交AC于点H，，，则___________，___________.

四、解答题

17．（2021·黑龙江·高三期中）已知△ABC的内角A、B、C满足.

（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.

18．（2021·广西玉林·高三期中）已知函数.（1）若，求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在[0，m]上的最小值为2，求实数m的取值范围.

19．（2021·上海普陀·一模）设函数，该函数图像上相邻两个最高点之间的距离为，且为偶函数.（1）求和的值；（2）在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.

20．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）在①､②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答.①在上有且仅有4个零点；②在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点.

设函数，且满足___________.（1）求ω的值；（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在（0，2π）上的单调递减区间.

21．（2021·四川泸州·模拟预测）如图，在平面四边形中，对角线平分的内角的对边分别为.已知.（1）求；（2）若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①的面积；②.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

22．（2021·上海金山·一模）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1．（2021·湖北·高三期中）已知，则的可能值为（    ）

A．          B．           C．          D．

2．（2020·江苏·一模）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·上海金山·一模）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·山东聊城一中模拟预测）我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则的面积近似为，若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，的面积近似为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

6．（2021·江苏·高三期中）关于函数y=sin（2x+φ）（）有如下四个命题：

甲：该函数在上单调递增；乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数；

丙：该函数图象的一条对称轴方程为；丁：该函数图像的一个对称中心为.

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

7．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中）已知为常数，在某个相同的闭区间上，若为单调递增函数，为单调递减函数，则称此区间为函数的“”区间.若函数，则此函数的“”区间为（    ）

A． B．

C． D．

8．（2021·全国·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．是周期为的偶函数B．函数的图象有无数条对称轴

C．函数的最大值为，最小值为，则

D．若，则函数在区间内有8个零点

二、多选题

9．（2021·福建漳州·模拟预测）在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（       ）

A．  B． C． D．

10．（2021·重庆一中模拟预测）如图所示为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，0<φ<π)图象的一部分，对任意的，且，若，有，则φ的值可能为（    ）

A． B． C． D．

11．（2021·湖北·石首市第一中学高三阶段练习）已知函数，则下述结论中错误的是（       ）

A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点

B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增

C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是

D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为11

12．（2022·江苏·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（       ）

A．的最大值为

B．当，时，不可能是直角三角形

C．当，，时，的周长为

D．当，，时，若为的内心，则的面积为

三、填空题

13．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中）函数的部分图象如图所示，已知分别是最高点、最低点，且满足（为坐标原点），则__________．

14．（2021·上海市七宝中学高三期中）已知中的内角、、的对边分别为、、，若，，且．则的面积是_______．

15．（2021·河南·高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，若为的面积，则当取得最小值时，的值为______.

16．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三期中）在ABC中，，，则ABC的外接圆面积___________，ABC周长的最大值为___________.

四、解答题

17．（2021·浙江高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.

18．（2021·全国新高考1卷真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.

19．（2020·江苏苏州·高三阶段练习）在非直角三角形ABC中，角的对边分别为，

（1）若，求角B的最大值；（2）若，（i）证明：；

（可能运用的公式有）

（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.

20．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.

21．（2021·辽宁实验中学高三期中）如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.

(1)若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；

(2)若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种方案的的最小面积分别设为，，则和哪一个更小？

22．（2019·全国高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．

（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．