（人教A版2019）高二数学选修二 专题06 导数与函数的单调性（课时训练）

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专题06 导数与函数的单调性A组 基础巩固1．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数，根据函数在区间上单调递增，可得在恒成立，从而可得出答案.【详解】解：，因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，所以，因为，所以，所以，故选：C.2．已知函数，，设，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用指数函数和对数函数的性质比较的大小，从而可比较出三个数的大小【详解】由，得，所以在上为增函数，因为在上为减函数，且，所以，因为在上为增函数，且，所以，因为在上为增函数，且，所以，所以，因为在上为增函数，所以，即，故选：D3．若函数h(x)＝2x－在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是（       ）A． B．(2，＋∞) C． D．(－∞，2)【答案】C【解析】【分析】h(x)在(1，＋∞)上是增函数，等价于其导数在(1，＋∞)上恒大于或等于0.【详解】，，∵函数在上是增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，∵在上，.故选：C.4．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分析可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出，求出在时的取值范围，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知对任意的恒成立，则对任意的恒成立， 当时，，.故选：B.5．函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出导函数，由于函数在区间，单调递增，可得在区间，上恒成立求解即可.【详解】由得，函数在区间，单调递增，在区间，上恒成立.，而在区间，上单调递减，.的取值范围是：，.故选：A.6．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是 （       ） A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.【详解】由函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数y＝f (x)图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且，在处的切线的斜率为0，故BCD错误，A正确.故选：A.7．函数的单调递减区间为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求函数的定义域，然后再通过求导，令导函数小于0，求出x的范围，跟定义域求交集即可完成求解.【详解】，定义域为，其导数，在区间上，，函数单调递减.故选：D.8．下列函数中，在为增函数的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性判断ABC，利用导数判断D．【详解】解：A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数，时函数不存在；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知D正确故选：D．9．若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则实数a的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，分离参数，即 恒成立，然后变为函数的最值问题求解即可.【详解】函数h(x)＝ln x－ax2－2x,故 ，因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即（x∈[1,4]）恒成立，令，则，而，因为x∈[1,4]，所以 ，所以， (此时x＝4)，所以 ，又因为a≠0，所以a的取值范围是，故答案为：　10．若函数在R上是增函数，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】对给定函数求导，再借助导数值恒大于等于0求解作答.【详解】因函数在R上是增函数，则，，即恒成立，而有最大值，则，所以实数的取值范围是.故答案为：11．函数的减区间是____________.【答案】##【解析】【分析】求出，然后由可得答案.【详解】由可得所以由可得所以函数的减区间是故答案为：12．已知函数，若，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据的奇偶性和单调性，结合导数的使用，求解不等式即可.【详解】因为的定义域为，且，故为奇函数；又，故为单调增函数；则，即，也即，整理得，解得.故答案为：.   
B组 能力提升13．（多选题）已知函数，则（       ）A．在上是减函数 B．在，上是减函数C．的单调递增区间为和 D．在和上是增函数【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.【详解】的定义域为. ，令，得或，所以的单调递增区间为和，在和上是增函数.令，得或.所以在和上是减函数，故选：BCD.14．已知函数.(1)求函数的单调递增区间：(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)单调增区间为(2)【解析】【分析】（1）对函数求导后，令导函数大于零，解不等到式可求出函数的增区间，（2）由恒成立，可得恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值，然后使其最小值大于，从而可求出实数的取值范围(1)，，令，即，解得，的单调增区间为；(2)当时，由已知得当时，即恒成立，设，，由，得，在单调递减，在单调递增，当时，，，在为增函数，，，解得，的取值范围为15．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，且，求证：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分和，讨论求解； （2）由， 得到，令，利用导数法得到时， 或证明.(1)解：，当时，，在R上单调递增，当时，由，得；由，得．∴在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．(2)证明：由，得，即，，令，则．∵，∴在上单调递增，在上单调递减．当时，，∴或，①若，显然②若，要证，只需证，即证，若能证，则原命题得证，令，，，∵，∴，，∴，∴在单调递增，∴，∴，原命题得证．综上所述，．【点睛】关键点点睛：当时，关键是将证，转化为证，然后令，，利用导数而得解.16．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)求函数的零点个数．【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；(2)当，无零点；当，有一个零点；当，有两个零点.【解析】【分析】（1）求得，对参数分类讨论，即可求得的单调性；（2）根据（1）中所求单调性，利用零点存在定理，分类讨论求解即可.(1)因为，定义域为，又，当时，，则在上单调递增；当时，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.(2)当时，在上单调递增，且恒成立，无零点；当时，在上单调递增，且，故在存在一个零点；当时，由（1）可知，，若，此时无零点；若，，此时有一个零点；若，，又，故在，有一个零点，又，令，则，，在单调递增，故，故，则在，有一个零点，即当时，有两个零点.综上所述：当，无零点；当，有一个零点；当，有两个零点.【点睛】本题考察利用导数研究含参函数单调性和零点个数的研究，涉及分类讨论、构造函数以及零点存在定理，属综合困难题.17．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若函数，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；(2).【解析】【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，即可利用导数求得函数的单调性；（2）根据的单调性，结合的单调性以及，即可利用导数求得参数的范围.(1)．①当时，，在上单调递增；②当时，令，得．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.(2)由题意，函数，且在上恒成立，先由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，函数．再令，且，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当，函数取得最小值，为，，即在区间上恒成立．由（1）知，当时，在上单调递增，在上恒成立，符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上不恒成立．综上可得，实数a的取值范围是．【点睛】本题考察利用导数研究函数的单调性，以及由不等式求参数的范围问题；其中第一问处理的关键是，对参数合理的分类；第二问处理的关键是利用的单调性，结合的值域，合理转化，属综合困难题.18．已知函数，．(1)求的单调区间；(2)当时，求证：在上恒成立．【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.(1)因为，故可得，又为单调增函数，令，解得，故当时，；当时，，故的单调减区间为，单调增区间为.(2)当时，，要证，即证，又，则只需证，即证，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值；令，，又为单调增函数，且时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得最小值.则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，即，也即时恒成立.【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.19．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)的单减区间为，单增区间为和．(2)【解析】【分析】（1）根据导数的正负，求得函数的单调增、减区间；（2）先根据，求得，然后当时，利用放缩法，结合（1）中的结论，证得对于恒成立，从而得到的取值范围.(1)解：由，则，，令，得或；令，得，所以的单减区间为，单增区间为和．(2)解：由当时，恒成立，∴，解得；当时，，记，由（1）可知，在单调递减，在单调递增，所以，即．综上可知，实数a的取值范围是．