（人教A版2019）高二数学选修三 专题11 离散型随机变量的分布列及数字特征（课时训练）

这是一份（人教A版2019）高二数学选修三 专题11 离散型随机变量的分布列及数字特征（课时训练），文件包含专题11离散型随机变量的分布列及数字特征课时训练解析版docx、专题11离散型随机变量的分布列及数字特征课时训练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

专题11 离散型随机变量的分布列及数字特征
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高二课时练习）某商场销售某种品牌的空调，每周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则每台未售出的空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，调剂的空调每台可获利200元．该商场记录了去年夏天（共10周）空调的周需求量n（单位：台），整理得表：
周需求量n
18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若该商场周初购进20台空调，X表示当周的利润（单位：元），则当周的平均利润为（       ）
A．10000元 B．9400元 C．8800元 D．9860元
【答案】D
【解析】
【分析】
求出X的可能取值，进而求出相应的概率，根据均值的计算公式即可求出结果.
【详解】
当时，，
当时，，
则X的可能取值为8800，9400，10000，10200，10400，
，
，
，
，
，
则当周的平均利润
（元）．
故选：D．
2．（2022·全国·高二课时练习）2021年世界园艺博览会于2021年4月到10月在江苏省扬州市举行，“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可.
【详解】
设任取1盆的编号为随机变量，
∴的可能取值为0，1，2，……，9，且，
∴．
故选：B.
3．（2022·全国·高二单元测试）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（       ）
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为4点，第二枚为1点
【答案】C
【解析】
【分析】
由随机变量的可能取值求解.
【详解】
抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，
所以“X>4”即“X=5”，
表示试验的结果为第一枚为6点，第二枚为1点，
故选：C
4．（2022·湖南·高二课时练习）已知随机变量的概率分布如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10











则（       ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出其它的概率之和，再由离散型随机变量分布列的性质即可求解，表格中9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是 的等比数列，利用等比数列前项和公式求解.
【详解】
由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以.
故选：C.
5．（2022·全国·高二单元测试）把半圆分成4等份，以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个三角形，记这3个三角形中钝角三角形的个数为X，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
一共可做出10个三角形，其中钝角三角形有7个，由题意可知，分别求出对应概率，从而可求得数学期望.
【详解】
解：以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，一共能作出个三角形，
其中钝角三角形有个，
所以，
，
，
，
，
所以.
故选：A.
6．（2022·全国·高二单元测试）已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P



设，则等于（       ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可.
【详解】
由X的分布列得，
，
因为，
则
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（       ）
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
A． B．3
C．6 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据概率和为得到求得，根据分布列求得，求的最大值，再求的最大值即可.
【详解】
因为分布列中概率和为，故可得，解得，
又，
则，
又，故可得，
则当时，的最大值为，
又，故的最大值为.
故选：C.
8．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知随机变量X的分布列是：









若，则（       ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件求出、的值，利用方差公式可求得的值.
【详解】
由已知可得，解得，
因此，.
故选：C.
9．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（       ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】
【分析】
列举出ξ=3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.
【详解】
解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
10．（2019·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）随机变量的分布列如图所示，则其数学期望（       ）

1
2
3




A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
由分布列可得，进而结合期望的概念即可求出结果.
【详解】
由题意可知，即，
而，
故选：B.
11．（2021·全国·高二单元测试）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是（       ）
A． B．
C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
法一：根据随机变量，由求解；法二：由题意得到的取值范围为，然后分别求得其相应概率，利用期望公式求解.
【详解】
法一：由题意得随机变量，
则，
法二：由题意可知的取值范围为，
则，
，
，
故，
故选：C.
12．（2022·全国·高二课时练习）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X




工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为______．
【答案】9.8
【解析】
【分析】
求出Y的所有可能取值，进而求出相应的概率，列出分布列，再结合方差的计算公式即可求出结果.
【详解】
由题意可知Y的所有可能取值0,2,6,10,
，
，
，
．
所以随机变量Y的分布列如下表所示：
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1

所以，．
所以工期延误天数Y的方差为9.8．
故答案为：9.8.
13．（2022·全国·高二课时练习）某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：
X
7
8
9
10
P
0.1
0.4
0.3
0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为，则______.
【答案】9.1
【解析】
【分析】
由题意可得X的取值范围为，然后结合X的分布列求出对应的概率，从而可求出的分布列，进而可求得
【详解】
X的取值范围为，且
，
，
，
.
所以分布列为

7
8
9
10
P
0.01
0.24
0.39
0.36
.
故答案为：9.1
14．（2022·江苏·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
a


若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______
【答案】
【解析】
【分析】
利用分布列的性质求参数a，由题设知F(x)＝P(X≤1)，结合分布列可求概率值.
【详解】
由分布列的性质，得a＋＋＝1，
∴a＝，而x∈[1,2)，
∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)=＋＝．
故答案为：
15．（2021·全国·高二单元测试）若随机变量X的概率分布如表，则表中a的值为______．
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
a
【答案】0.2
【解析】
【分析】
利用概率和为1，即可求参数a的值．
【详解】
由随机变量X的概率分布表得：，解得．
故答案为：0.2
16．（2021·全国·高二专题练习）下面给出三个变量:
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ.
（2）在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.
（3）在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.
其中是随机变量的是____.
【答案】（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）因2013年地球上发生地震的次数是确定的，据此判定（1）是否是随机变量；
（2）某种放射性物质发生的α粒子数η是变化的，有限的，据此判定（2）是否是随机变量；
（3）通过的宝马车的辆数也是变化的，据此判定（3）是否是随机变量.
【详解】
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ是确定的，故不是随机变量;（2）发出的α粒子数η是变化的，是随机变量;（3）通过的宝马车的辆数X是变化的，是随机变量.
故答案为：（2）（3）
17．（2022·全国·高二单元测试）为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B，并在“十一黄金周”期间同时投放市场.为了了解这两款车型在“十一黄金周”的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量（单位：台），得到如下数据：
4S店
车型
甲
乙
丙
丁
戊
车型A
6
6
13
8
11
车型B
12
9
13
6
4
现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知X的所有可能取值为0，1，2，再根据古典概型的概率公式分别求出对应的概率，然后根据方差公式即可求出．
【详解】
由表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，则X的所有可能取值为0，1，2，且，，，所以，.
故答案为：．
18．（2022·北京八中高二期末）随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出概率，利用期望求出相应的概率，进而利用求方差公式进行求解.
【详解】
设，则，从而，解得：，所以
故答案为：
19．（2022·全国·高二课时练习）一袋中装有分别标记着，，数字的个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取次球，若每次取出一个球后放回袋中，记次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为，，设，则______ .
【答案】##
【解析】
【分析】
先求出的可能取值，再求出相应的概率，进而求出期望.
【详解】
的可能取值为0,1,2，连续取3次球，它的取法共有种，其中的取法共有3种，为111,222,333，其中有12种，为112,121,211,122,212,221,223,232,323,332,233,322，其中有12种，为113,123,311,321,312,213,231,131,133,311,331,313，因此它们的概率分别为，故．
故答案为：
20．（2022·全国·高二课时练习）随机变量的概率分布为

0
1





且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用离散型随机变量及其分布列的概率和为1，求出的值，根据期望，求出的值，再根据方差的公式，即可求出结果.
【详解】
由，得，
∵，
∴，得，
∴.
故答案为：.




B组 能力提升
21．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是（       ）
A．游客至多游览一个景点的概率为 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断A；由题意得随机变量的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望，来判断BCD.
【详解】
记该游客游览i个景点为事件，，
则，，
所以游客至多游览一个景点的概率为，故A错误；
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
，，
，故B正确；
，，故C错误；
数学期望为，故D正确.
故选：BD
22．（2022·湖南·高二课时练习）(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（       ）
X
－1
0
1
P
a
b
c

A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
【答案】BD
【解析】
【分析】
本题根据等差数列性质得出a，b，c之间的关系，再利用分布列的性质即可求解.
【详解】
解：由题意得：
∵a，b，c成等差数列
∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1
∴
∴
.
故B、D正确；
因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道，故无法求出a与c的值，故A、C错误；
故选：BD
23．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（       ）．
A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝
C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情况数，应用古典概型的概率求法求它们的概率值即可.
【详解】
由题设，ξ的可能取值为0，1，．
若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P(ξ＝0)＝＝，
若两条棱平行，它们的距离为1或，而距离为的共有6对，
∴P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
ξ分布列如下：
ξ
0
1

P



故选：ABC
24．（2021·全国·高二课时练习）（多选）设离散型随机变量的分布列为

-1
0
1
2
3






则下列各式正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用离散型随机变量分布列的性质，逐项分析求解.
【详解】
由分布列可知，∵事件“”不存在，，∴A正确；
，∴B正确；
，，∴C，D均不正确.
故选AB.
25．（2021·全国·高二专题练习）（多选题）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果正确的有（       ）A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
【答案】ABD
【解析】
由概率之和为1可判断A，根据分布列计算可判断B,C,D.
【详解】
因为，解得，故A正确；
由分布列知,，
，故BD正确，C错误.
故选：ABD
26．（2022·广东·模拟预测）（多选题）盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是（       ）
A．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件
B．“第一次取到白球”和“第二次取到黑球”是相互独立事件
C．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为
D．设随机变量和分别表示取到白球和黑球的个数，则
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据对立事件、独立事件的含义判断A、B，应用古典概型的概率求法求C中概率即可判断，由、可能值为，分别求出对应的概率，并求出期望即可比较大小关系判断D.
【详解】
“取到2个白球”和“取到2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，故A不正确；
“第一次取到白球”发生会影响“第二次取到黑球”的概率，不是相互独立事件，故B不正确；
在第一次取到白球的条件下，第二次取一个球共有4个基本事件，其中取到的是黑球的事件有3个，其概率为，故C正确；
由题设，可能值为，且，，所以；可能值为，且，，所以；所以，故D正确．
故选：CD
27．（2022·福建莆田·模拟预测）（多选题）有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为正实数．下列说法正确的是（       ）
A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C．若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为
D．若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据甲的极差、平均数、方差、中位数确定乙的相关数据特征，结合各选项的描述判断正误.
【详解】
若甲的极差为，平均数为，方差为，中位数为，
则乙的极差为，平均数为，方差为，中位数为，
A：当甲的极差为0时，样本甲、样本乙的极差相等，错误；
B：当甲的方差为0时，样本甲、样本乙的方差相等，错误；
C：由上分析知：若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，正确；
D：由上分析知：若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为，正确；
故选：CD
28．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）（多选题）有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为正实数．下列说法正确的是（       ）
A．样本甲的期望一定小于样本乙的期望
B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C．若m为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为
D．若m为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据原样本、新样本的期望、方差、中位数、平均数的对应关系确定正确选项.
【详解】
依题意为正实数，
原样本的期望为，新样本的期望为，由于，所以，A选项正确.
原样本的方差为，新样本的方差为，由于，所以，B选项错误.
原样本的中位数为，新样本的中位数为，C选项正确.
原样本的平均数为，新样本的平均数为，D选项正确.
故选：ACD
29．（2022·广东茂名·高三阶段练习）2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛，12支参赛队分为三组，每组四队，2月9号至13号将进行小组赛，小组赛采取单循环赛制，即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次，最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次．小组赛结果的确定规则如下：
①在常规时间里，获得最多进球的队为获胜者，获胜者得3分；
②在常规时间里，如果双方进球相等，每队各得1分．比赛继续进行，以突然死亡法（即在规定的时间内有一方进球）加时赛决出胜负，突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分；
③在突然死亡法加时赛中，如果双方都没有得分，那么进行点球赛，直至决出胜负，在点球赛中获胜的队将额外获得1分．
若在小组赛中，甲队与乙队相遇，在常规时间里甲队获胜的概率为，进球数相同的概率为；在突然死亡法加时赛中，甲队获胜的概率为，双方都没有得分的概率为；在点球赛中，甲队获胜的概率为，假设各比赛结果相互独立．
(1)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得2分获胜的概率；
(2)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得分的分布列及数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；.
【解析】
【分析】
（1）由题可得甲队得2分获胜有两种情况，甲在加时赛中获胜或甲在点球赛中获胜，分别计算概率即得；
（2）由题可得可取0,1,2,3，分别计算概率即得分布列，然后利用期望计算公式即得.
(1)
设甲在加时赛中获胜为事件A，甲在点球赛中获胜为事件B，
则，
∴甲队得2分获胜的概率为.
(2)
甲队得分可取0,1,2,3，
，
，
，
，
∴的分布列为
X
0
1
2
3
P




∴甲队得分的数学期望为.
30．（2022·北京市陈经纶中学高三开学考试）为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.

(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；
(3)根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)有效，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（2）分析可知变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；
（3）求出满足的成绩有人，求出，即可得出结论.
(1)
解：设该名学生的考核成绩优秀为事件，
由茎叶图中的数据可知，名同学中，有名同学的考核成绩为优秀，故.
(2)
解：由可得，
所以，考核成绩满足的学生中满足的人数为，
故随机变量的可能取值有、、、，
，，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：











因此，.
(3)
解：由可得，由茎叶图可知，满足的成绩有个，
所以，因此，可认为此次冰雪培训活动有效.
31．（2022·福建莆田·模拟预测）某企业有生产能力相同的甲、乙两条生产线，生产成本相同的同一种产品.为保障产品质量，质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品，并检测其某项质量指标值.根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：
质量指标值






等级
次品
二等品
一等品
二等品
三等品
次品
甲生产线（件）
2
19
40
24
14
1
乙生产线（件）
2
16
50
12
19
1
(1)根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；
(2)该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元.已知一、二、三等品的售价分别为120元/件、90元/件、60元/件.为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线.视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)应关停甲生产线，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据样本频数分布表可得，即得；
（2）分别计算两个生产线生产一件产品的平均收入，即可.
(1)
∵乙生产线抽取了100件产品，由样本频数分布表可知，质量指标值位于前两组的频数为18，前三组的频数为68，
∴中位数位于第三组，设乙生产线的该质量指标值的中位数为x，则
，
解得，
∴乙生产线的该质量指标值的中位数为；
(2)
由题可得甲生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设甲生产线生产一件产品的收入为X，则
（元），
乙生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设乙生产线生产一件产品的收入为Y，则
（元）（元），
∴甲生产线生产一件产品的平均收入低于乙生产线生产一件产品的平均收入，应关停甲生产线.
32．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））北京时间2022年2月6日，中国女足在0-2落后的情况下，最终以3-2逆转绝杀韩国女足，时隔16年再次问鼎亚洲之巅，成为亚洲唯一一支亚洲杯九冠王球队，为此全民又掀起了足球热潮．为了响应习总书记关于深化足球体制改革，大力发展青少年足球，落实到每个地区每一所学校的号召，哈三中成立了校足球队，其中守门员2人，前锋4人，中场10人，后卫6人，其中每个前锋射门的平均命中率都是，每个中场球员射门的平均命中率都是，每个后卫射门的平均命中率都是，且每位队员射门是否命中相互独立．
(1)为了备战一场友谊赛，现从前锋、中场、后卫中各随机选一人组成一个射门训练小组，该小组每个人射门一次为一轮训练，若该小组三人均射进则奖励3个哈三中百年校庆纪念版校徽，若只有两人射进则奖励1个校徽，其他情况不奖励，设随机变量表示该小组一轮训练所得的校徽数，求的分布列及数学期望；
(2)为了强化队员们的射门能力，现从前锋、中场、后卫队员中随机选3人进行射门特训，求这3个人里中场球员的人数比前锋人数多的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望是
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先由题意可知，再根据题意分别求概率，列分布列和数学期望；
（2）首先列举3个人里中场球员的人数比前锋人数多的事件，再求概率.
(1)
由条件可知，
，，
；
分布列如下：

0
1
3





；
(2)
设事件是3人中有3人是中场，，
事件是3人中有2人都是中场，，
事件是3人中1人是中场，2人是后卫，,
所以3个人里中场球员的人数比前锋人数多的概率
.