专题9.1正弦定理与余弦定理（B卷提升篇）-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷（新教材人教B版）

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专题9.1正弦定理与余弦定理（B卷提升篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2021·陕西榆林市·高三一模（文））在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由面积公式可得，由余弦定理可得：得，再由正弦定理可得答案【详解】，所以，由余弦定理可得： 得又由正弦定理可得：，所以，故选：A.2．（2021·陕西商洛市·高二期末（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则 （    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先利用正弦定理得到，再利用已知条件得到，最后利用余弦定理求解即可.【详解】由，得，因为，所以，．故选：B.3．（2021·河南郑州市·高三一模（文））刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求的近似值.【详解】圆的周角为，，所以当等腰三角形的顶角为时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为，则由题意可知，解得：，所以的近似值是.故选：A4．（2020·全国高三专题练习（文））在中，角、、的对边分别为、、，已知，，若最长边为，则最短边长为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得角的正余弦，再利用三角形内角和为和诱导公式计算角的正余弦，判断c为最大边，为最短边，利用正弦定理求出即可.【详解】由知，利用同角三角函数基本关系可求得，，由知，得，，∴，，即为钝角，为最大角，故c为最大边，有，由知，最短边为，于是由正弦定理，即求得，故选：A.5．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积为S，，则外接圆的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理及三角形面积公式得和，结合条件，可得，求得角，再由正弦定理即求得结果．【详解】由余弦定理得，，所以，又，，所以有，即，又，所以，由正弦定理得，，得.所以外接圆的面积为．故选：D．6．（2020·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为（    ）
 A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【解析】设该扇形的半径为，连接，结合题意得出，，，利用余弦定理求出，即为扇形的半径长.【详解】解：设该扇形的半径为，连接，如图所示：由题意得，， ，，，在中，由余弦定理得：，即，解得：，所以该扇形的半径为米.故选：D.7．（2020·全国高三专题练习（理））如图所示，已知､､为的内角､､所对的边，且，，为的中点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由平方可得：，再由余弦定理可得，根据基本不等式可得，从而得解.【详解】，，根据余弦定理知，又，得，故，由，当且仅当b=c等号成立，得，，故选：D.8．（2021·全国高三专题练习（理））已知向量，，则面积的最大值为（    ）A． B． C． D．1【答案】C【解析】利用向量公式求出向量与的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值.【详解】，,，其中，故，，故当时，即时，取最大值为.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则角不可能是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】利用三角恒等变换和三角形的面积公式求出的值，再根据的范围求出角.【详解】，即，所以，，利用正弦定理得：，将代入可得：，因为，所以或，因为，且，所以，所以，角不可能是,,故选：ACD10．（2020·广东中山市·中山一中高二月考）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则为钝角三角形D．若，则为直角三角形【答案】ACD【解析】A选项，在中，大边对大角，由可得，利用正弦定理，可得；故A正确；B选项，在中，若，则或，所以或；故B错；C选项，若，则，所以角为钝角，即为钝角三角形；故C正确；D选项，若，则，所以，则，又为三角形内角，所以，则.故选：ACD.11．（2020·桃江县第一中学高三期中）在中，内角，，的对边分别为，，，，，的面积为，则可能取到的值为（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，，，又，，由余弦定理可得，，当且仅等号成立，故的最小值为，可能取到的值为AC选项．故选：AC.12．（2020·广东汕头市·金山中学高三期中）在中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（    ）A．B．若，则C．D．若，且，则为等边三角形【答案】ACD【解析】对于A，由，故A正确；对于B，若，当，时，则，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D， 由，可得的角平分线与垂直，所以为等腰三角形又，可得，所以为等边三角形，故D正确；故选：ACD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2021·江西新余市·高三期末（理））已知分别为三个内角的对边，的面积为，且，则_______.【答案】【解析】由三角形的面积公式可知，得，由得，由正弦定理得即，所以 ，所以，又，所以，又，故故答案为：14．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（理））已知的内角，，的对边分别为，，．若，则的最小值为______．【答案】【解析】∵，∴，即，由正弦定理得，∴，由余弦定理知，，∴，则，∵，∴，则，当且仅当时，等号成立即的最小值为．故答案为：15．（2020·和平区·天津一中高三月考）如图，在已知的四边形中，，，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________.【答案】【解析】因为在中，，，，所以，解得，在中，根据正弦定理，可得，解得，所以，因为，点为边上，所以，设，，所以=，，所以时，有最小值，故答案为：16．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则________，的最大值为__________. 【答案】2        【解析】根据正弦定理，化简得，再由余弦定理，列出方程求得，结合正弦定理化简，进而求得的最大值.【详解】因为，由正弦定理，可得，即，又由余弦定理，所以，根据正弦定理，可得，，所以，其中，因为，当时，的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2021·浙江台州市·高三期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由余弦定理先求，从而可得角；（Ⅱ）用正弦定理将化角，再用两角和的正弦公式化简转化，即可求得的取值范围.【详解】（Ⅰ）， （Ⅱ），，由正弦定理，，，，，；又，故，，.18．（2021·北京海淀区·高三期末）若存在同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：（1）求的大小；（2）求和的值.条件①：；条件②：；条件③：；条件④：.【答案】选择①②③（1）；（2）；；选择①②④（1）；（2）；.【解析】选择①②③（1）因为，，由正弦定理得.因为，所以.所以.所以.（2）在中，，所以.所以.因为，所以.所以 .所以.由正弦定理得，即.因为，所以.选择①②④（1）因为，，由正弦定理得.在中，，所以.所以.（2）在中，，所以.所以.因为，所以.所以.所以.因为，所以.由正弦定理得.19．（2021·海南高三二模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，，所对的边分别为，，，且，，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】选择条件①：由余弦定理可求出角，再根据条件可求出，即得面积；选择条件②：由正弦定理可求出角，进而求出，即得面积；选择条件③：先由二倍角公式化简可得，进而由余弦定理得出，求得可判定三角形不存在.【详解】选择条件①：由余弦定理得，因为，所以.结合，，可得，所以，，因此.选择条件②：由正弦定理得，所以，又，所以，所以.由，解得，，所以.选择条件③：因为，又，所以，因此.由余弦定理可得，得，从而，显然不成立，因此，不存在满足条件的.20．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，且D为的中点，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据，利用正弦定理结合 ，得到求解.（2）根据D为的中点，得到，然后两边平分结合余弦定理得到，再利用基本不等式求解.【详解】（1）因为由正弦定理得：，        ①又因为， ②由①②得：，而，所以，又因为，所以．             （2）因为，所以所以，由余弦定理得：，所以，所以，而（当且仅当时，取“=”），所以，即：，所以（当且仅当时，取“=”），所以的最大值为．21．（2021·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末（理））在中，，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）如果，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，利用正弦定理可得求解．（2）由，利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得：，即．又∵，∴．（2）因为，由余弦定理得，而，当时取等号，所以，所以.22．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，，.（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；①；②（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA+AE最大)【答案】（1）；（2）当时，折线段赛道BAE最长.【解析】（1）在中应用余弦定理求得，进而在应用勾股定理求得．（2）在中，应用余弦定理表达出与的等量关系，再结合不等式求得的最大值即可．【详解】（1）①当时，在中，由余弦定理得：，.，，又，，在中，.②当，由，，在中，利用余弦定理可得,解得或（舍）. （2）在中，，.由余弦定理得，即，故，从而，即，当且仅当时，等号成立，即设计为时，折线段赛道最长.