专题9.3《解三角形》（B卷提升篇）-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷（新教材人教B版）

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专题9.3《解三角形》（B卷提升篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2020·四川内江市·高三一模（文））若向量，，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，则，，所以.故选：A.2．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在中，，，的面积为，则外接圆面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，则，根据余弦定理：，则，外接圆直径，则，外接圆面积．故选：C3．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）中，边，，的对角分别是，，，若，则角（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】在中，由正弦定理知则，因为角是的内角，所以，所以角等于或．故选：D．4．（2020·吉林吉林市·蛟河一中高二月考（文））在中，，，分别是角，，的对边，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据条件由正弦定理可得，再根据余弦定理可得得出答案.【详解】由，得，可得 所以，则 又，所以 故选：C5．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））在中，角的对边分别为，若，，的面积等于，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】①②据题设可得③由①②③解得故选：C6．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】锐角中，，由余弦定理可得，化简得：，又．故选：D7．（2020·山西高三月考（文））在中，已知，，若的面积，则S的值为（    ）A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】因为的面积，所以，所以，即，所以，又因为，所以，解得，（舍去），所以．设的AB边上的高，则，所以，所以的面积为，故选：B．8．（2020·全国高二（文））在中，、、分别为的内角、、的对边，，则角的大小为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为由正弦定理可得，即，又由余弦定理可知，则，则，即：，，又，当且仅当时取等号，∴，，，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．（2020·福建福州市·高三期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．的面积为6【答案】ABD【解析】因为，所以，所以，故A正确；因为，利用正弦定理可得，因为，所以，所以，即因为，所以，所以，又，所以，故B正确；因为，所以，所以，因为，所以，故C错误；，故D正确；故选：ABD10．（2020·平潭县新世纪学校高三月考）已知中，角，，的对边分别为，，，且，则角的值不可能是（    ）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】CD【解析】∵，由正弦定理得：∴，∴，当且仅当时取等号，又，故.故选：CD.11．（2020·山东聊城市·高三期中）已知的内角，，的对边长，，成等比数列，，延长至.则下面结论正确的是（    ）A．B．C．若，则周长的最大值为D．若，则 面积的最大值为【答案】BCD【解析】因为在中，，则，由可得，即，所以①，又，，成等比数列，所以，由正弦定理可得：②，由①②可得：，则，所以，则，即，所以，因为角为三角形内角，所以，则；又，所以；角，为三角形内角，所以，，则，所以，即；即为等边三角形；故A错，B正确；延长至，连接，则，若，在中，由余弦定理可得：，即，所以当且仅当时，等号成立，此时周长的最大值为；故C正确；若，设，则的高为，所以的面积为，当且仅当，即时，等号成立；即面积的最大值为.故D正确.故选：BCD.12．（2020·全国高三专题练习）已知，，分别为内角，，的对边，，且，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C．面积的最大值为 D．面积的最大值为【答案】BC【解析】由正余弦定理结合已知条件化简得，由三角形的面积公式结合基本不等式计算得面积的最大值.【详解】∵，∴，∴，由正弦定理可得，∴，，，，当时取等号，∴，∴.故选：BC第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）已知锐角中，，，则的范围为___________.【答案】【解析】因为锐角中，，，所以，由正弦定理可得：，则，又为锐角三角形，所以，即，所以，因此，所以.故答案为：.14．（2021·江苏省新海高级中学高三期末）在中，为边上一点，，，若，且，则________．【答案】【解析】因为，，所以根据向量平行四边形法则可得，，又，故且，在中，由余弦定理：，所以.故答案为：15．（2020·四川内江市·高三一模（文））在中，角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，则的值为______．【答案】【解析】由题意，在中，，根据余弦定理，可得，整理得，可得，因为，可得，又因为的面积为，可得，解得，又由，根据余弦定理可得，即，所以，可得.故答案为：16．（2020·浙江杭州市·高一期末）在中，角､､所对的边分别为､､，已知，则=___________；若点是边上靠近的三等分点，且，则面积的最大值为___________.【答案】        【解析】因为，所以，所以，即，故所以.因为点是边上靠近的三等分点，所以，从而.,故，即，故.故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2021·山西太原市·高三期末（理））已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，.（1）求A，B，C；（2）若，求的面积.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）∵，∴，由余弦定理得，∵，∴，∵，∴，∴，①当时，，；②当时，，；（2）由（1）得当，时，∵，∴，∴；当，时，由正弦定理得，∴，∴.18．（2021·全国高三零模）在四边形中，，．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理可得，，，在中，由余弦定理可得，；（2）设，则，在中，，在中，，由（1）可知，，所以，，即，整理可得，因为，解得，因此，.方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.19．（2021·北京高三期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值.条件①：；条件②：；条件③：.【答案】条件选择见解析；，．【解析】(一)选择条件①：；条件②：.因为，，，所以，即.所以.因为是锐角三角形，所以.由余弦定理可得.所以.(负值舍去)，由正弦定理可得.所以.所以，.(二)选择条件①：；条件③：.因为，所以.由正弦定理可得.所以.由余弦定理可得.所以.(负值舍去)，所以，.(三)选择条件②：；条件③：.因为，所以.因为，，所以，即.所以.由余弦定理可得.所以.(负值舍去)，由正弦定理可得.所以.所以，.20．（2021·江苏常州市·高三期末）在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】（1）选①，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴；选②，∴，∴，∵，∴，则，∴；选③，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）已知为锐角三角形，且，由正弦定理得：，∴，，∴，∵为锐角三角形，∴，∴，∴.21．（2020·河津中学高三月考（理））已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且（1）求角C；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为4.【解析】（1）利用正弦定理和三角函数的和差公式可得答案；（2）由可求出，然后，然后可得答案.【详解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）设的外接圆半径为R，∵，∴，∴.∵，∴，当，即时，，即的最大值为422．（2020·河南南阳市·高二期中（理））已知村庄B在村庄的东北方向，且村庄，之间的距离是千米，村庄在村庄的西偏北方向，且村庄，之间的距离是千米.现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.（1）求村庄、之间的距离；（2）求农贸市场到村庄、的距离之和.【答案】（1）千米；（2）千米.【解析】（1）由余弦定理可得；（2）用正弦定理求得，确定在的正西方向，从而可得，在中用余弦定理结合，可求得，从而可得结论．【详解】如图，由题意可得，，（1）在中，由余弦定理可得则故即村中、之间的距离为千米（2）在中，由正弦定理可得则从而故村庄在村庄的正西方向因为农贸市场在村庄的北偏东的方向所以在中由余弦定理可得因为所以解得则故即农贸市场到村庄、的距离之和为千米．