专题11.2平面与空间中的平行关系（B卷提升篇）-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷（新教材人教B版）

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专题11.2平面与空间中的平行关系（B卷提升篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2020·重庆万州区·万州纯阳中学校高二月考）在以下四个命题中：①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.正确的命题是（ ）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【解析】根据线面平行的定义及判定定理可判断.【详解】定义：一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行.可知①②正确；线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.可知④正确；当线在面内时，直线与平面内的无数条直线不相交（平行时），所以③不正确.故选：D.2．（2020·四川遂宁市·高二期中（理））已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，有下列命题：① ②若则③则 ④直线，直线，那么⑤若，则 ⑥若，则，其中所有正确命题数（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质应用，逐一判断选项可得结论.【详解】对于①：根据平行的性质有，故①正确；对于②：由得或相交，故②不正确；对于③：由得，或异面，故③不正确；对于④：由直线，直线，可得，异面，相交，故④不正确；对于⑤：由，得或相交，故⑤不正确；对于⑥：若，由面面平行的传递性得，故⑥正确，所以正确的命题有①⑥，故选：B.3．（2020·全国高一课时练习）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）A．存在一条直线，，B．存在一条直线，，C．存在两条平行直线、，，，，D．存在两条异面直线、，，，，【答案】D【解析】考虑两平面相交时也可存在一条直线与它们平行，可判断A，平面相交时可有，可判断B，两平面相交时存在两条平行直线满足条件可判断C，可根据条件证明来判断D.【详解】对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故不对；对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故不对；对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对；对于，在直线上取点，过点和直线确定一个平面，交平面于，因为，所以；又，，所以，又因为，，，，所以；故选：D4．（2020·全国高一课时练习）平面与平面平行的条件可以是（ ）A．内有无穷多条直线都与平行B．直线，，且直线不在内，也不在内C．内的任何直线都与平行D．直线在内，直线在内，且，【答案】C【解析】根据面面平行的判定定理依次判断即可.【详解】在A中，内有无穷多条直线都与平行，与有可能相交，故A错误；在B中，直线，，且直线不在内，也不在内，则与相交或平行，故B错误；在C中，内的任何直线都与平行，由面面平行的判定定理得，故C正确；在D中，直线在内，直线在内，且，，则与相交或平行，故D错误.故选C.5．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期末（文））如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为（ ） A．① B．①② C．② D．①②③【答案】C【解析】平移直线，判断平移后的直线：若在面上，则平面，还是与面交于一点则与面不平行，即可知正确选项.【详解】①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；②中，在正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则易知，而平面，平面，故平面；③中，同①平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；故选：C．6．（2020·济南大学城实验高级中学高一期中）在空间四边形中，分别是上的点，当平面时，下面结论正确的是（ ）A．一定是各边的中点B．一定是的中点C．D．四边形是平行四边形【答案】C【解析】利用线面平行的性质定理和对应成比例判断.【详解】如图所示：因为平面，平面平面，所以，所以，同理，但不一定是各边的中点，则四边形不一定是平行四边形故选：C7．（2020·全国高三专题练习（理））如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，然后利用面面平行的判定定理可证得平面AMN∥平面BDFE，所以平面α截该正方体所得截面为平面BDFE，然后在图2中的图形计算即可【详解】如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM⊄平面BDFE，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，BD＝，EF＝B1D1＝，DF＝BE＝，等腰梯形BDFE如图2，过E，F作BD的垂线，垂足分别为G，H，则四边形EFGH为矩形，所以，故所得截面的面积为，故选：B.8．（2020·云南高三月考（理））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱BC的中点，用平行于体对角线BD1且过点A，M的平面去截正方体ABCD-A1B1C1D1，得到的截面的形状是（ ）A．平行四边形 B．梯形 C．五边形 D．以上都不对【答案】B【解析】画出图形，设截面为、，P为的靠近于的三等分点，N为的靠近于C的三等分点，由推出，从而推出截面AMNP为梯形.【详解】如图，设截面为，设，P为的靠近于的三等分点，N为的靠近于C的三等分点，由可得平面与的交线平行于，所以平面，又平面与两平行平面，的交线应互相平行，∴平面，由且可得截面AMNP为梯形.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．（2021·全国高三零模）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，，故A错误；由，四边形为平行四边形，所以，故B正确；因为,,所以平面,所以，故C正确；因为，而,所以，故D正确.故选：BCD10．（2020·山东高二月考）如图所示，已知二面角的大小为，，分别是，的中点，，分别在，上，，且平面，则以下说法正确的是（ ）A．，，，四点共面B．平面C．若直线，交于点，则，，三点共线D．若的面积为6，则的面积为3【答案】ACD【解析】A选项：先证明得到，再证明得到，最后证明并判断A选项正确；B选项：先假设平面成立得到是的中点，再与产生矛盾，判断B选项错误；C选项：先得到平面和平面，再证明，判断C选项正确；D选项：因为二面角的大小为，平面，所以点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，故，故D选项正确；【详解】解：A选项：在中，因为，所以，在中，因为，分别是，的中点，所以，所以，所以，，，四点共面，故A选项正确；B选项：假设平面成立，因为平面平面，所以，又是的中点，所以是的中点，与矛盾，故B选项错误；C选项：因为平面，，所以平面，同理平面，因为平面平面，所以，所以，，三点共线，故C选项正确；D选项：因为二面角的大小为，平面，所以点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，故，故D选项正确；故选：ACD11．（2020·江苏省南通中学高三一模）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（ ）A．水的部分始终呈棱柱状；B．水面四边形EFGH的面积不改变；C．棱A1D1始终与水面EFGH平行；D．当E∈AA1时，AE＋BF是定值．【答案】ACD【解析】从棱柱的特征平面可判断A；由水是四棱柱或者五棱柱时或者三棱柱时可判断B；由平面，棱可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D.【详解】由于BC固定，所以倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面AEFB平面DHGC，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；BC为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同， 但水的部分始终呈棱柱状，且棱平面，棱，∴平面；∵体积是定值，高为定值，则底面积为定值，即为定值，综上ACD正确．故选：ACD.12．（2020·北京四中高二期中）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】根据线面平行的判定定理判断．【详解】A中如下图，由中位线定理，而，从而，平面，有线面平行；B中，如下图，，在平面上，与显然相交，因此与平面相交，不平行．C中，如下图，是所在棱中点，则，即平面，而在底面上，直线与直线相交，与平面相交，不平行．D中，如下图，由中位线定理，而，从而，平面，有线面平行；故选：BC．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2020·湖北武汉市·高二期中）如图，在正方体中，点，，分别是，，的中点，给出下列5个推断：①平面； ②平面；③平面； ④平面平面；⑤平面平面.其中推断正确的序号是_________.【答案】①③⑤【解析】根据线面平行和面面平行的判断方法依次判断即可.【详解】对于①，可知在正方体中，平面平面，且平面，平面，故①正确；对于②，，是，的中点，，与平面相交，故与平面不平行，故②错误；对于③， ，是，的中点，，平面，平面，平面，故③正确；对于④，由②得与平面不平行，则平面与平面不平行，故④错误；对于⑤，由①得，平面，平面，平面，由③得，平面，平面，平面，，平面平面，故⑤正确.故答案为：①③⑤.14．（2020·四川成都市·成都七中高三月考（文））如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，点是棱上一点，，若且满足平面，则______．【答案】【解析】如图，连接，交于点，连接，在线段取一点使得，连接，可证平面平面，从而可得.【详解】如图，连接，交于点，连接，则，在线段取一点使得，则.连接，则，又因为平面，平面，所以平面.因为平面且满足，故平面平面.因为平面平面，平面平面，则.所以，即为所求.故答案为：.15．（2020·全国高三专题练习（文））在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ平面PAO．【答案】Q为CC1的中点【解析】设Q为CC1的中点，推得QB∥PA，连接DB，证得D1B∥PO，证得D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，再结合面面平行的判定定理，即可求解.【详解】如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA，连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，且PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO，故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO．16．（2020·全国高一单元测试）如图，四棱锥的底面为矩形，侧棱底面ABCD，且，E，F分别是线段PA，PD的中点，H在线段AB上.若平面平面EFH，则__________AB，若，则点D到平面PAC的距离为__________.【答案】 【解析】由面PBC平面EFH，可得EHPB，由是线段的中点即可得到与数量关系；过D作DM⊥AC于M，可证面即线段DM的长就是点D到平面PAC的距离.【详解】平面平面，面平面，面平面，.又是线段的中点，在线段上，是的中点.故：过作于，侧棱底面，，且，面，线段的长就是点到平面的距离.在直角三角形中，..故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2020·全国高三专题练习（理））如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点.（1）证明：AD1平面BDC1；（2）证明：BD平面AB1D1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，证得C1D1DA和AD1C1D，利用线面平行的判定定理，即可证得AD1平面BDC1；（2）连接D1D，利用线面平行的性质，得到BB1D1D，进而证得BDB1D1，利用线面平行的判定定理，即可证得BD平面AB1D1.【详解】（1）因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，所以C1D1DA，且C1D1DA，所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以AD1C1D，又因为AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，所以AD1平面BDC1.（2）连接D1D，因为BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D，所以BB1D1D，又因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，所以DD1AA1，且DD1AA1，所以BB1AA1DD1，且BB1=AA1=DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BDB1D1，又BD不在平面AB1D1内，B1D1平面AB1D1，所以BD平面AB1D1.18．（2020·济南大学城实验高级中学高一期中）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）直线EG平面BDD1B1；（2）平面EFG平面BDD1B1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1) 连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，则EGSB，从而可证.（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FGSD, FG平面BDD1B1,由（1）有直线EG平面BDD1B1；从而可证.【详解】证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EGSB.又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直线EG平面BDD1B1.（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FGSD.又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，由（1）有直线EG平面BDD1B1；又EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG平面BDD1B1.19．（2021·银川三沙源上游学校高一期末）如图：在正方体中，E为的中点.（1）求证：平面；（2）若F为的中点，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连结交于O，连结.可证，即可得证；（2）首先可证，即可得到∥平面，再由（1）的结论即可得证；【详解】解：（1）连结交于O，连结.∵因为为正方体，底面为正方形，对角线､交于O点，所以O为的中点，又因为E为的中点，在中∴是的中位线∴；又因为平面，平面，所以平面.（2）证明：因为F为的中点，E为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以∥平面；由（1）知平面，又因为，所以平面平面.20．（2020·全国高三专题练习（文））在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）取BB1的中点M，连接MH，MC1，得HD1∥MC1，再证得MC1∥BF，可得结论；（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，先证明与平行且相等，可得GE∥D1O，从而可得线面平行．【详解】证明：（1）如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1．又因为在平面BCC1B1中，BMFC1，BM=FC1所以四边形BMC1F为平行四边形，所以MC1∥BF，所以BF∥HD1．（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE∥DC且OE＝DC，又D1G∥DC且D1G＝DC，所以OED1G，OE=D1G所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O．又D1O⊂平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D．21．（2020·全国高三专题练习（文））如图，平面分别与空间四边形中的、、、交于、、、，且平面，平面，，，.(1)求证为矩形；(2)点在什么位置时，最大？【答案】（1）证明见解析；（2）在的中点.【解析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形；（2）设，，求出，再利用二次函数求解.【详解】(1)∵平面，平面平面，平面平面，∴，，∴，同理可证， ∴四边形为平行四边形，又∵，∴ ，∴四边形矩形； (2)设，， 则，， ∴，， ∴， ∴当时，.22．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析；（2）1.【解析】（1）连接与交于点O，连接OD，根据O，D为中点，得到，利用线面平行的判定定理证明. （2）易证平面，再根据为的中点，得到点D到平面的距离为1，再求得，代入体积公式求解.【详解】（1）如图所示：连接与交于点O，连接OD，因为O，D为中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为侧棱底面，所以，即，又，，所以平面，因为为的中点，所以点D到平面的距离为1，又，所以.方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．