专题11.1空间几何体（B卷提升篇）-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷（新教材人教B版）

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专题11.1空间几何体（B卷提升篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2021·宁夏长庆高级中学高一期末）已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积.【详解】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积，故选：C.2．（2021·江西吉安市·高二期末（文））若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为，所有侧棱均相等，则侧棱长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设在平面的投影为，则，根据是的重心求出，即可求出侧棱长.【详解】如图所示三棱锥中，由题可得，设在平面的投影为，则，则是的重心，，则在中，.故选：C.3．（2021·银川三沙源上游学校高一期末）若所有棱长都是6的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．所以外接球的表面积为：．故选：D4．（2021·贵州省思南中学高二期末（理））正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据等体积法有,可求出答案.【详解】设点到平面的距离为是,如图，易知,因为所以，由，所以，解得：故选：D5．（2021·安徽阜阳市·高三期末（文））某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由三视图还原几何体，由棱锥的体积公式可得选项.【详解】在如图所示的正方体中，P，E分别为的中点，该几何体为四棱锥，且平面．由三视图可知，则，则．故选：A.方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．6．（2021·海南高三二模）用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据球与圆锥的结构特征，结合体积与表面积的计算公式进行求解即可.【详解】设球的半径为，圆锥的底面半径为，因为球心到截面的距离为1，所以有：，则题中圆锥体积，解得，故球的表面积为.故选：C7．（2021·安徽蚌埠市·高二期末（文））阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为 （    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据球的体积公式求出半径，根据圆柱的体积公式可求得结果.【详解】设球的半径为，则，所以，所以圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以圆柱的体积为.故选：C8．（2021·贵州贵阳市·高三期末（文））已知菱形的边长为，，将沿折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先判定所得三棱锥为正四面体，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，利用正方体的性质求得正方体的边长，进而得到对角线长，由此得到正方体的外接球也就是正四面体的外接球的直径，最后利用球的表面积公式计算得到结果.【详解】由已知得为等边三角形，对角线,将沿折起，使A，C两点的距离为，折起后三棱锥为正四面体，各棱长都是，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为,则正方体的面对角线为，所以正方体的体对角线为,其中为正方体的外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，∴正四面体ABCD的外接球表面积为,二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．（2020·肇庆市实验中学高二期中）下列命题正确的是（    ）A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台C．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面【答案】CD【解析】根据空间几何体的定义，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点，错误；对于B，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，错误；对于C，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，正确；故选：CD.10．（2020·全国高三专题练习）两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】对两个平行平面在球心的同侧和异侧两种情况讨论，计算出球心到两截面的距离，进而可求得两平面间的距离.【详解】如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧，则；如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧，则.故选：AD.11．（2020·重庆万州区·万州纯阳中学校高二月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（    ）A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为【答案】BC【解析】根据，，由，求得底面半径，再根据母线，利用圆柱的侧面积公式和表面积公式求解.【详解】因为，，所以，即，又因为，所以圆柱的侧面积是，圆柱的表面积是，故选：BC12．（2020·湖南高二月考）已知点，分别是一个正方体的外接球和内切球上的动点，且，之间距离的最大值为，则（    ）A．正方体的体积为1B．正方体的内切球的休积为C．正方体的外接球的表面积为D．，之间的距离最小值为【答案】ABD【解析】正方体外接球半径为体对角线长的一半，内切球半径为棱长的一半.设正方体的棱长为，，之间距离的最大值为，而，分别为外接球和内切球上的动点，所以，即可解得，即可判断.【详解】设正方体的棱长为，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即，，分别为外接球和内切球上的动点，，解得，正方体体积为1，A正确；内切球体积为，B正确；正方体外接球表面积为，C不正确；，D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2020·海南高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________【答案】【解析】利用计算即可.【详解】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点所以故答案为：14．（2021·六盘山高级中学高一期末）已知一个等腰直角三角形的直角边长为，以它的一条直角边所在直线为轴旋转所生成的旋转体的侧面积为______.【答案】【解析】求出圆锥的底面半径和母线长根据圆锥的侧面积公式可得答案.【详解】由题意得圆锥的底面半径为，圆锥的高为，所以母线长，所以侧面积为.故答案为：15．（2021·贵溪市实验中学高三一模）已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．【答案】【解析】由正方体的对角线是外接球直径，正方体的棱长等于内切球直径可求解．【详解】设正方体棱长为，则，解得，∴内切球半径为，表面积为．故答案为：．16．（2019·全国高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面.    棱长为.    【解析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，，，即该半正多面体棱长为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2020·全国高一单元测试）已知四棱锥的底面是面积为16的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为，计算它的高和侧面三角形底边上的高．【答案】四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为．【解析】由题意：底面是面积为16的正方形 ，侧面是全等的等腰三角形，说明该几何体是正四棱锥．由正四棱锥的性质即可求解．【详解】如下图所示:作为四棱锥的高，作于点，则为的中点．连接，则，．底面正方形的面积为16，，．则．又，在中，由勾股定理，可得．在中，由勾股定理，可得，即四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为．18．（2020·济南大学城实验高级中学高一期中）设正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，求此正三棱锥的表面积.【答案】【解析】设底面棱长为a，根据正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高为，由，求得a，再由表面积公式求解.【详解】如图所示：因为三棱锥是正三棱锥，所以，则平面PAB，所以，所以PD为正三棱锥的斜高，设底面棱长为a，则，因为正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得，所以正三棱锥的表面积为.19．（2021·宁夏长庆高级中学高一期末）如图，四边形是直角梯形，求图中阴影部分绕旋转一周所成几何体的体积．（注：台体的体积公式：（表示上底面面积，表示下底面面积，表示台体的体高））【答案】．【解析】根据题意绕旋转一周所成几何体的是圆台，其上底面挖去一个半球，求出圆台的体积、半球的体积，相减即可得出该几何体的体积.【详解】解：根据题意绕旋转一周所成几何体的是圆台，其上底面挖去一个半球，因为圆台的体积，半球的体积．所以所求几何体的体积为．求体积的常用方法：（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.20．（2020·济南大学城实验高级中学高一期中）已知正四面体棱长为2，分别求该正四面体的外接球与内切球的半径.【答案】【解析】设外接球和内切球的半径分别为R，r，球心O在高线上，底面中心为,根据正四面体棱长为2，分别求得，在中，由求外接球半径，利用等体积法由求内切球半径即可.,【详解】如图所示：设外接球和内切球的半径分别为R，r，由于正四面体是中心对称图形，所以外心和内心重合，球心O在高线上，底面中心为,因为正四面体棱长为2，所以，在中，，即，解得，因为正四面体的体积为,所以，解得21．（2020·全国高三专题练习（文））如图，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为，求：（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）求该最短路线的长及的值；（3）三棱锥体积.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为的矩形求解.（2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点运动到点的位置，连接交于，则即为所求；然后由≌求解；（3）根据平面，利用等体积法，由求解.【详解】（1）因为正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为的矩形，所以其对角线长为；（2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点运动到点的位置，连接交于，
 则是由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线，其长为，∵≌，∴，故；（3）∵平面，∴，.22．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）三棱锥中是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.（2）正方体的体积减去三棱锥的体积即得剩余的几何体的体积.【详解】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积 （2）正方体的体积为，三棱锥的体积为，所以剩余的几何体的体积为.