专题32 函数的零点-2022新高考二轮复习高中数学技巧之函数专题汇编

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函数的零点一．选择题（共11小题） 1．（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是　　A． B． C． D．【解析】解：对于，定义域为，所以是非奇非偶的函数；对于，是偶函数，但是不存在零点；对于，，是奇函数；对于，，是偶函数并且有无数个零点；故选：．2．（2019•河南模拟）已知实数，满足，，则函数的零点所在的区间是　　A． B． C． D．【解析】解：实数，满足，，，，函数，单调递增，，根据函数的零点判定定理得出函数的零点所在的区间，故选：．3．（2019•龙凤区校级模拟）已知函数，若存在，使得，则的取值范围为　　A． B． C． D．【解析】解：①当时，．故当时，．②当时，，故当时，．若存在，使得，则，如图所示：显然当时，取得最小值，此时，，，的最小值为．显然，当趋于1时，趋于最大，此时，趋于，趋于，趋于．故的取值范围为，故选：．4．（2019•榆林一模）对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为　　A． B． C．， D．，【解析】解：函数的零点为．设的零点为，若函数与互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则，，如图．由于必过点，故要使其零点在区间，上，则（2）或，解得，故选：．5．（2019•广西校级学业考试）若函数在区间，上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是　　A．若（a）（b），不存在实数使得（c） B．若（a）（b），存在且只存在一个实数使得（c） C．若（a）（b），有可能存在实数使得（c） D．若（a）（b），有可能不存在实数使得（c）【解析】解：由零点存在性定理可知选项不正确；对于选项，可通过反例“在区间，上满足（2），但其存在三个解，0，”推翻；同时选项可通过反例“在区间，上满足（2），但其存在两个解，”推翻；故选：．6．（2019•安徽三模）已知，，，，若函数不存在零点，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：因函数不存在零点，当时，考察 的零点，因它不存在零点，说明没有实数根，△，即．那就排除答案中，，选项，从而得出正确选项．故选：．7．（2020•云南学业考试）函数的零点所在的区间为　　A． B． C． D．【解析】解：（1），（2），（3），（4），（2）（3），的所在区间为．故选：．8．（2010•浙江）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：在同一坐标系中画出与的图象如下图示：由图可知与的图象在区间，上无交点，由图可知函数在区间，上没有零点故选：．9．（2019秋•濮阳期末）方程的解所在的区间为　　A． B． C． D．【解析】解：令，由于，（1），（1），根据函数零点的判定定理可得的零点所在的区间为，故方程的解所在的区间为，故选：．10．（2019春•常德期末）方程的解所在区间为　　A． B． C． D．【解析】解：构建函数，函数的定义域为，函数在上为单调增函数（2），（3）方程的解所在区间是故选：．11．（2019春•楚雄州期末）已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：由题意可知：函数在区间内有唯一零点，（2）（4），，，则的取值范围．故选：．二．填空题（共15小题）12．（2015•湖南）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是　　．【解析】解：由函数有两个零点，可得有两个零点，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，时符合条件，故答案为：13．（2015•北京）设函数．①若，则的最小值为　　；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是　　．【解析】解：①当时，，当时，为增函数，，当时，，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故当时，，②设，若在时，与轴有一个交点，所以，并且当时，（1），所以，而函数有一个交点，所以，且，所以，若函数在时，与轴没有交点，则函数有两个交点，当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），当（1）时，即时，的两个交点满足，，都是满足题意的，综上所述的取值范围是，或．14．（2019•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为　3　．【解析】解：，，，，，当时，，当时，，当时，，当时，，，，，或，或，故零点的个数为3，故答案为：315．（2015•湖南）已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是　或　．【解析】解：有两个零点，有两个零点，即与的图象有两个交点，由可得，或①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意③当时，函数单调递增，故不符合题意④时，单调递增，故不符合题意⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点综上可得，或故答案为：或16．（2019秋•锡山区校级期末）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是　，　．【解析】解：作出函数的图象如图，由图象可知，则，即，要使函数的图象与轴有公共点，则，解得．故答案为：，．17．（2019秋•石河子校级期末）已知函数，则函数的零点是　0，2　．【解析】解：函数，时，或，函数同比较是函数的图象向右平移一个单位，的零点是，，故答案为：0，218．（2019秋•镜湖区校级期末）已知函数有零点，则的取值范围是　，　．【解析】解：，可得的根为当时，，可得函数在区间上为减函数；当时，，可得函数在区间上为增函数，函数在处取得极小值，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数的最小值要小于或等于零，即，可得，故答案为：，．19．（2019•防城港一模）已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为　　．【解析】解：函数有且只有一个零点，函数与的图象有且只有一个交点，作函数与的图象如下，结合图象知，当时成立，当时，相切时成立，故；故；故；综上所述，实数的取值范围为．故答案为：．20．（2020春•集宁区校级期末）设函数，则满足的的值是　或16　．【解析】解：根据题意，函数，若，当时，，解可得；当时，，解可得；综合可得：或16；故答案为：或1621．（2020春•天山区校级月考）已知函数，若，则（a）　　．【解析】解：若，即时，．解得，不合题意．当，即时，，即，所以（a）．故答案为：．22．（2019秋•定海区校级期中）若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是　或　．【解析】解：关于的方程有4个不相等的实数根等价于函数与的图象有4个不同的公共点，而函数为偶函数，轴右边的图象为抛物线的一部分，作图如下： 由图象可知：当或时，两函数的图象有4个不同的公共点，故答案为：或23．（2019秋•天山区校级期末）函数的零点是　1，　．【解析】解：由可得或．故答案为：1或24．（2019秋•红塔区校级期末）若关于的方程有两个根，则的取值范围是　　．【解析】解：设，的方程有两个根，即，根据题意，与，有两个不同的交点，故，25．（2019春•葫芦岛期中）已知关于的方程在，上有两个不同的实数根，则的取值范围是　　．【解析】解：，即，，即，，，，由三角函数图象可知，要使方程有两个不同的实数根则，即，的取值范围是．故答案为：．26．（2019•常州校级模拟）是实数，函数．如果函数在区间，上有零点，则的取值范围是　，，　．【解析】解：时，不符合题意，所以，在，上有解，在，上有解在，上有解，问题转化为求函数在，上的值域．设，，，则，，，，设，，，时，，此函数单调递减，，时，，此函数单调递增，的取值范围是，，，，或．故答案为，，．三．解答题（共9小题）27．（2019•长沙校级模拟）已知二次函数．（1）若函数在区间，上存在零点，求实数的取值范围；（2）问是否存在常数，当，时，的值域为区间，且的长度为．（注：区间，的长度为．【解析】解：（1）二次函数的对称轴是，函数在区间，上单调递减，则函数在区间，上存在零点须满足（1）．即，解得．（2）假设存在常数满足题意，分三种情况求解：①当时，即时，当时，取到最小值（8）；当时，取到最大值，的值域为：（8），，即，．区间长度为．，，经检验不合题意，舍去，故．②当时，即时，当时，取到最小值（8）；当时，取到最大值，的值域为：（8），，即，区间长度为，．经检验不合题意，舍去．③当时，函数在，上单调递增，的值域为：，，即，．区间长度为，，或．经检验或满足题意．综上知，存在常数或，当，时，的值域为区间，且的长度为．28．（2019秋•崂山区校级期末）已知奇函数的定义域为，．（1）求实数，的值；（2）若，，方程有解，求的取值范围．【解析】解：（1）由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即，可得：，①，由在定义域内，又是奇函数，所以，所以可得：，解得，将代入①可得：，所以；（2）由（1）得：，若，，即，，在，单调递增，所以，，设，所以方程有解可得，有解，令，，开口向上的抛物线，对称轴，函数先减后增，且离对称轴较远，所以，最小且为：，时，最大，且为，综上所述的取值范围为：，．29．（2019秋•杨浦区校级期末）已知函数的定义域为，当时，．（1）求函数的零点；（2）若为偶函数，当时，解不等式．【解析】解：（1）求的零点，即是求方程的解，由题意可得：，整理可得：，，所以解得，所以的零点为：1；（2）若为偶函数，设，则，由题意可得，由于为偶函数，所以，所以，，由题意可得：，．整理可得：，，解得：，所以不等式的解集为：．30．（2019秋•长治校级期中）对于定义域为，的函数同时满足：（1）对于任意，，；（2）（1）；（3）若，，则．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）问函数在，上是否有零点？【解析】解：（Ⅰ）由条件（3）知，令，，得．即，由条件（1），；（Ⅱ）由条件（3）知，令，则，即．，，，即，在，上递增，的最大值为（1）．若存在，使得（a），与的最大值1矛盾，对任意的，都有，恒有，即，在，上没有有零点．31．（2020春•红桥区校级期中）已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在上最小值为（1）求的解析式；（2）当，，时，求函数的最小值（用表示）；（3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）设函数，由对称轴为，函数在上最小值为得，将代入得：，故；（2）的对称轴为，时，在，递减，，时，在，递减，在，递增，故，时，在，递增，故；综上，；（3）法一：若函数在上只有一个零点，则和在上只有1个交点，时，显然和在上没有交点，时，时，，（3），故只需（3）即可，即，解得：，当和相切时，联立，得：，则△，解得：，将代入方程，得：，解得：，故时，函数和在只有1个交点，即函数在上只有一个零点综上：的取值范围是，．法二：在上只有一个零点，当△时，解得或（舍，当△时，若要使得在上只有一个零点，需满足（3），解得，综上：的取值范围是，．32．（2019秋•杨浦区校级期末）已知常数，函数（1）若，解方程；（2）设函数．若在，上单调递减，求的取值范围；（3）设集合，的元素个数为，求关于的函数（a）在的表达式．【解析】解：（1）时，所以方程为：，所以可得：解得：或（舍，所以方程的解为：．（2）设函数．若在，上单调递减可得：，且在，单调递减，所以可得解得，即所以的取值范围为：；（3）显然不是方程的解．当时，原方程可变为，令，，则，所以当时，方程无解；当时，方程只有一解；当时，方程有两解；当时，方程只有一解．故（a）．33．（2019秋•宝山区校级期末）已知函数，其中为实常数；（1）若，解关于的方程；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．【解析】解：（1）由，即，可得，那么，，解得或．（2）由，当时，可得此时是偶函数，当时，此时是奇函数，当时，是非奇非偶函数．34．（2020春•临高县校级期末）已知函数．（Ⅰ）解方程；（Ⅱ）求满足的的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）函数，因为，所以当时，，解可得，当时，，解可得，舍去；故；（Ⅱ）若，当时，即恒成立，此时有，当时，即，变形可得，解得，又由，则有；综上，的取值范围为，．35．（2019•浙江二模）已知数列的相邻两项，是关于的方程的两实根，且．（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式．【解析】（Ⅰ）解：，是关于的方程的两实根，，，，，．（Ⅱ）证明：．故数列是首项为，公比为的等比数列．，即．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/12/14 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