第03讲 向量基本定理与向量方法(分层训练)-2022年春季高一数学辅导讲义（苏教版2019必修第二册）

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基础组
一、选择题(共8小题)
1．(2020秋•吉安期末)设e1→，e2→为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是( )
A．e1→+e2→和e1→-e2→；B．4e1→+2e2→和2e2→-4e1→；C．2e1→+e2→和e1→+2e2→；D．e1→-2e2→和4e2→-2e1→
【答案】D．
【解析】由题意可知，e1→，e2→是不共线的两个向量，可以判断选项A，B，C都可以做基底，
选项D，e1→-2e2→=-12(4e2→-2e1→)，故选项D不能做基底．
2．(2020秋•咸阳期末)已知e1→，e2→，e3→是空间的一个基底，a→=e1→+e2→，b→=e1→-e2→，c→=e3→，p→=3e1→+2e2→+e3→，若p→=xa→+yb→+zc→，则x，y，z的值分别为( )
A．12，52，1；B．52，1，12；C．1，12，52；D．52，12，1
【答案】D．
【解析】p→=xa→+yb→+zc→=x(e1→+e2→)+y(e1→-e2→)+ze3→=(x+y)e1→+(x﹣y)e2→+ze3→=3e1→+2e2→+e3→，
∴x+y=3x-y=2z=1，解得x=52y=12z=1．
3．(2020秋•西城区期末)在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则AB→+CB→=( )
A．2BO→；B．2DO→；C．BD→；D．AC→
【答案】B．
【解析】在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，
则AB→+CB→=AB→+DA→=DB→=2DO→．
4．(2020秋•秦安县校级期末)在平行四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，若E是DC的中点，则AE→=( )
A．12a→-b→；B．32a→-b→；C．-12a→+b→；D．-32a→+b→
【答案】C．
【解析】如图所示，平行四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，则AD→=BC→=AC→-AB→=b→-a→，
又E是DC的中点，则AE→=AD→+DE→=(b→-a→)+12a→=b→-12a→=-12a→+b→．
5．(2021•山东模拟)如图所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则|EF→|＝( )
A．175；B．666；C．676；D．375
【答案】C．
【解析】如图，A0，0，B3，0，C1，3，则E2，32，F23，233，∴EF→=676．
6．(2020秋•赣州期中)在ABC中，|CA|＝1，|CB|＝2，∠ACB=23π，点M满足CM→=CB→+2CA→，则MA→•MB→=( )
A．0；B．2；C．23；D．4
【答案】A．
【解析】建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，C(0，0)，B(2，0)，A(-12，32)；
∴CB→=(2，0)，CA→=(-12，32)，∴CM→=CB→+2CA→=(1，3)，∴MA→=CA→-CM→=(-32，-32)，
MB→=CB→-CM→=(1，-3)，则MA→•MB→=-32+32=0．
7．(2020•广东二模)已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝30°，AB＝23，AD＝5，E在CB的延长线上，且AE＝BE，则AE→⋅DB→=( )
A．1；B．2；C．12；D．3
【答案】A．
【解析】如图，A0，0，B23，0，D532，52，设E3，m．
由AD→∥EB→，即532，52∥3，-m，得m=-1．∴AE→⋅DB→=3，-1·-32，-52=1．
8．(2020•宜宾模拟)在△ABC中，点D为BC延长线上一点，且S△ABCS△ABD=23，则( )
A．AD→=43AB→-13AC→；B．AD→=32AB→-12AC→；C．AD→=-12AB→+32AC→；D．AD→=-13AB→+43AC→
【答案】C．
【解析】由题意可知，S△ABCS△ABD=23=BCBD，∴BD→=32BC→，
∴AD→=AB→+BD→=AB→+32BC→=AB→+32(AC→-AB→)=-12AB→+32AC→．
二、填空题(共4小题)
9．(2020秋•昌江区校级期末)已知正△ABC的边长为2，BD→=4BC→，则AD→⋅AC→=______．
【答案】10．
【解析】由题意可得AD→⋅AC→=(AB→+BD→)•(AB→+BC→)
＝(AB→+4BC→)•(AB→+BC→)=AB→2+5AB→⋅BC→+4BC→2＝22+5×2×2×cs120°+4×22＝10．
10．(2020秋•汇川区校级月考)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且DC→=2DF→，则AE→⋅BF→的值是______．
【答案】2．
【解析】建立如图所示的坐标系，AB=2，BC＝2，
可得A(0，0)，B(2，0)，E(2，1)，DC→=2DF→，
所以F(1，2)，AE→⋅BF→=(2，1)•(1-2，2)=2-2+2=2．
11．(2020秋•天津期末)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD=π3，点EF在CD上且满足DE→=13DC→，DF→=23DC→，若M为AB的中点，且AF→⋅ME→=1，则AB的长为______．
【答案】94．
【解析】如图，∵DE→=13DC→，DF→=23DC→，且DC→=AB→，MA→=-12AB→，
∴AF→=AD→+DF→=AD→+23AB→，ME→=MA→+AD→+DE→=-12AB→+AD→+13AB→=-16AB→+AD→，
且AD=1，∠BAD=π3，AF→⋅ME→=1，
∴(AD→+23AB→)⋅(-16AB→+AD→)=AD→2-19AB→+12AB→⋅AD→=1-19|AB→|2+14|AB→|=1，
解得|AB→|=94或0(舍去)，∴AB=94．
12．(2020秋•株洲月考)在直角边长为3的等腰直角△ABC中，E、F为斜边BC上的两个不同的三等分点，则AE→⋅AF→=______．
【答案】4．
【解析】由题意，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(3，0)，C(0，3)，由于E、F为斜边BC上的两个不同的三等分点，
则由题意，不妨设E(2，1)，F(1，2)，可得AE→=(2，1)，AF→=(1，2)，
可得AE→⋅AF→=2×1+1×2＝4．
三、解答题(共2小题)
13．(2020秋•东湖区校级期末)在△ABC中，若AB→=a→，AC→=b→，BD→=23BC→．
(1)用a→，b→表示AD→，BD→；
(2)若AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，求AD→⋅BD→的值．
【答案】(1)AD→=13a→+23b→，BD→=23(b→-a→)；(2)229．
【解析】(1)如图，∵AB→=a→，AC→=b→，
∴BD→=23BC→=23(AC→-AB→)=23(b→-a→)，AD→=BD→-BA→=23(b→-a→)+a→=13a→+23b→；
(2)∵AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，
∴AD→⋅BD→=23(AC→-AB→)⋅(13AB→+23AC→)=49AC→2-29AB→2-29AB→⋅AC→=4-89-29×2×3×12=229．
14．(2019秋•大连期末)如图，平行四边形ABCD中，已知AE→=2EB→，BF→=3FC→，设AB→=a→，AD→=b→，
(Ⅰ)用向量a→和b→表示向量DE→，AF→；
(Ⅱ)若DO→=xDE→，AO→=yAF→，求实数x和y的值．
【答案】(1)DE→=23a→-b→，AF→=a→+34b→；(2)x=23，y=49．
【解析】(Ⅰ)由题意得，DE→=AE→-AD→=23AB→-AD→=23a→-b→，
AF→=AB→+BF→=AB→+34BC→=a→+34b→，
(Ⅱ)因为DO→=xDE→，AO→=yAF→，
所以AD→=AO→+OD→=AO→-DO→=yAF→-xDE→=ya→+34b→-x23a→-b→
=(y-23x)a→+(34y+x)b→=b→，即(y-23x)a→+(34y+x-1)b→=0→，
因为a→与b→不共线，从而y-23x=0，34y+x-1=0，解得，x=23，y=49．
提高组
一、选择题(共8小题)
1．(2020秋•历城区校级期中)已知△ABC是边长为2的等边三角形，且AE→=EB→，AD→=2DC→，则BD→•CE→=( )
A．﹣3；B．﹣2；C．﹣1；D．3
【答案】B．
【解析】△ABC是边长为2的等边三角形，且AE→=EB→，AD→=2DC→，
画出图形，建立平面直接坐标系如图：可得A(﹣1，0)，E(0，0)，B(1，0)，C(0，3)，
则D(-13，233)，则BD→•CE→=(-43，233)•(0，-3)＝﹣2．
2．(2020春•杜集区校级月考)在平行四边形ABCD中，已知BM→=12BC→，DN→=23DC→，若AC→=λAM→+μ2AN→，则μλ=( )
A．3；B．2；C．12；D．13
【答案】A．
【解析】AM→=AB→+12BC→=AB→+12AD→，AN→=AD→+23DC→=AD→+23AB→，
∴AC→=λAM→+μ2AN→=λAB→+λ2AD→+μ2AD→+μ3AB→=(λ+μ3)AB→+(λ2+μ2)AD→，
又AC→=AB→+AD→，∴λ+μ3=1λ2+μ2=1，解得λ=12μ=32，∴μλ=3．
3．(2020秋•随州月考)已知O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足OA→•(AB→|AB→|-AC→|AC→|)=OB→•(BA→|BA→|-BC→|BC→|)＝0，则O点一定是△ABC的( )
A．外心；B．内心；C．重心；D．垂心
【答案】B．
【解析】∵OA→•(AB→|AB→|-AC→|AC→|)＝0，∴OA→⋅AB→|AB→|=OA→⋅AC→|AC→|，∴|OA→|⋅|AB→||AB→|cs∠OAB=|OA→|⋅|AC→||AC→|cs∠OAC，
∴cs∠OAB＝cs∠OAC，又∠OAB，cs∠OAC∈(0，π)，
∴∠OAB＝∠OAC，∴点O在∠BAC的平分线上．
又OB→•(BA→|BA→|-BC→|BC→|)＝0，同理可得：点O在∠ABC的平分线上．
∴点O是△ABC的内角平分线的交点，即为△ABC的内心．
4．(2020秋•全国月考)在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上运动，则MA→⋅MB→的最小值为( )
A．﹣1；B．0；C．1；D．3
【答案】B．
【解析】如图，以A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则：A(0，0)，B(2，0)，又M点在CD上，设M(x，1)，x∈[0，2]，
则MA→=(-x，-1)，MB→=(2-x，-1)，
∴MA→⋅MB→=x2-2x+1=(x-1)2，当x＝1时，MA→⋅MB→取最小值0．
5．(2020秋•徐州月考)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，点D为BC边上一点，且D为BC边上靠近C的三等分点，则AB→⋅AD→=( )
A．8；B．6；C．4；D．2
【答案】A．
【解析】如图，∵D为BC边上靠近C的三等分点，
∴AD→=AC→+13CB→=AC→+13(AB→-AC→)=13AB→+23AC→，且AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，
∴AB→⋅AD→=AB→⋅(13AB→+23AC→)=13AB→2+23|AB→||AC→|⋅cs60°=163+23×4×2×12＝8．
6．(2020秋•龙凤区校级期中)在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F．若AF→=xAB→+3yAD→，则x+y＝( )
A．1；B．59；C．-13；D．-59
【答案】B．
【解析】解法一，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，则AB→=(2，0)，AD→=(0，2)，
所以xAB→+3yAD→=(2x，6y)；根据题意知，FEAF=DEAB=12，所以AE→=(1，2)，AF→=23AE→=(23，43)，
所以2x=23，6y=43，解得x=13，y=29，所以x+y=13+29=59．
解法二：根据题意知，FEAF=DEAB=12，所以DF=12FB，DF=13DB，
所以AF→=AD→+DF→=AD→+13DB→=AD→+13(AB→-AD→)=13AB→+23AD→，
所以AF→=xAB→+3yAD→，即x=133y=23，解得x=13y=29，所以x+y=13+29=59．
7．(2020秋•连云港期中)已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝23，BM→+12CB→=0→，DC→=λDN→，若AM→•AN→=29，则λ＝( )
A．18；B．17；C．16；D．15
【答案】D．
【解析】连接AC，DB，分别以AC，DB所在的直线为x，y轴，建立如图的平面直角坐标系，
∵AC=23，∠ABC=120°，∴BO＝1，
∵BM→+12CB→=0→，∴BM→=12BC→，即M为边BC的中点，
设N(x，y)，则A(-3，0)，B(0，1)，C(3，0)，M(32，12)，D(0，﹣1)，
∴AM→=(332，12)，DC→=(3，1)=λDN→=λ(x，y+1)，由题意知λ≠0，
∴N(3λ，1λ-1)，AN→=(3λ+3，1λ-1)，∴AM→⋅AN→=5λ+4=29，解得λ=15．
8．(2020春•天津月考)已知∠BAC=5π6，AB＝3，AC＝23，BP→=λBC→，且AP→•BC→=-5，则λ的值为( )
A．12；B．23；C．13；D．14
【答案】C．
【解析】∵BP→=λBC→，∴AP→-AB→=λ(AC→-AB→)，
∴AP→=(1-λ)AB→+λAC→，且∠BAC=5π6，AB=3，AC=23，
∴AP→⋅BC→=[(1-λ)AB→+λAC→]⋅(AC→-AB→)=(λ-1)AB→2+λAC→2+(1-2λ)AB→⋅AC→
=9(λ-1)+12λ+(1-2λ)⋅3⋅23⋅(-32)＝39λ﹣18＝﹣5，∴λ=13．
二、填空题(共4小题)
9．(2020春•靖远县期末)已知O为△ABC所在平面内的一点，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，AB→=2，BC→=6，∠ABC=2π3．若BO→=2mAB→+nBC→，则2m﹣3n＝______．
【答案】﹣4．
【解析】由题意|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，可知O为△ABC外心，
根据向量几何意义：AB→•BO→=|AB→|•|BO→|cs∠OBA=12|AB→|＝2……①
同理BC→⋅BO→=12|BC|2=18⋯⋯②
将BO→=2mAB→+nBC→带入①可得2m|AB→|2+nAB→⋅BC→=2m|AB→|2+n|AB→|⋅|BC→|cs∠ABC＝2……③
将BO→=2mAB→+nBC→带入②可得2mAB→⋅BC→+n|BC→|2＝2m|AB→|•|BC→|cs∠ABC+n|BC→|2＝2……④
由③④可解得m=-56n=79，∴2m﹣3n=2×(-56)-3×79=-4．
10．(2020•和平区校级一模)已知平行四边形ABCD的面积为93，∠BAD=2π3，|AD→|＝6，E为线段BC的中点，若F为线段DE上的一点，且AF→=λAB→+56AD→，则λ＝______；AF→⋅AE→的值为______．
【答案】13；9．
【解析】根据题意，作出如下所示图形，∵E为线段BC的中点，
∴AB→=AE→+EB→=AE→-12BC→=AE→-12AD→．∵AF→=λAB→+56AD→，且D、E、F三点共线，
∴AF→=λ(AE→-12AD→)+56AD→=λAE→+(56-λ2)AD→，∴λ+56-λ2=1，解得λ=13．
∵平行四边形ABCD的面积为93，∠BAD=2π3，|AD→|＝6，
∴93=2×12|AB|•|AD|sin∠BAD＝|AB|×6sin2π3，解得|AB|＝3．
∴AF→⋅AE→=(13AB→+56AD→)•(AB→+12AD→)=13AB→2+AB→⋅AD→+512AD→2=13×9+3×6×cs2π3+512×36=9．
11．(2018春•亳州期末)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足AP→=λAB→，AQ→=(1-λ)AC→，λ∈R，若BQ→⋅CP→=-32，则λ＝______．
【答案】12．
【解析】如图所示，
∵BQ→⋅CP→=AQ→-AB→⋅AP→-AC→=1-λAC→-AB→⋅λAB→-AC→
=(λ-λ2+1)AB→⋅AC→-(1-λ)AC→2-λAB→2，
AB→⋅AC→=22cs60°＝2，AC→2=22=AB→2，∴BQ→⋅CP→=2(λ﹣λ2+1)﹣4(1﹣λ)﹣4λ＝2λ﹣2λ2﹣2，
又∵BQ→⋅CP→=-32，∴2λ-2λ2-2=-32，化为(2λ﹣1)2＝0，解得λ=12．
12．(2020•浙江模拟)如图，已知矩形ABCD中，AD＝1，AB=2，E为边AB的中点，P为边DC上的动点(不包括端点)，DP→=λDC→(0＜λ＜1)，设线段AP与DE的交点为G，则AG→⋅AP→的最小值是______．
【答案】3-1．
【解析】因△AGE与△PGD相似，所以AGGP=AEDP=12λ，则AG→⋅AP→=11+2λAP→2=11+2λ(1+2λ2)，
令t＝1+2λ(1＜t＜3)，
则AG→⋅AP→=t2-2t+32t=12(t+3t)﹣1≥3-1，当且仅当t=3，即λ=3-12∈(0，1)取到．
三、解答题(共2小题)
13．(2020春•新余期末)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，D为线段BC中点，E为线段AD中点．
(1)求AD→⋅BC→的值；
(2)求EB→，EC→夹角的余弦值．
【答案】(1)6；(2)-5217．
【解析】(1)依题意可知△ABC为直角三角形，BC=23，如图建立坐标系：
则B(0，0)，A(0，2)，C(23，0)，因为D为BC的中点，故D(3，0)
∴AD→=(3，-2)，BC→=(23，0)，∴AD→⋅BC→=3×23=6．
(2)由E为线段AD中点可知E(32，1)，∴EB→=(-32，-1)，EC→=(332，-1)，
∴cs＜EB→，EC→＞=EB→⋅EC→|EB→||EC→|=-32×332+1×1(-32)2+(-1)2⋅(332)2+(-1)2=-5217．
14．(2020春•威海期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，点E，F在BC边上且BE→=λBC→，BF→=μBC→．
(Ⅰ)若λ=13，求AE的长；
(Ⅱ)若AE→⋅AF→=4，求1λ+1μ的值．
【答案】(1)133；(2)75．
【解析】(Ⅰ)设AB→=a→，AC→=b→，则|a→|=2，|b→|=1，a→⋅b→=|a→||b→|cs120°＝﹣1，λ=13，
BE→=13BC→，E是BC的一个3等分点，过E作EM平行AC角AB于M，
作EN平行AB交AC于N，则AM=23AB，AN=13AC，所以AE→=23a→+13b→，
∴|AE→|=(23a→+13b→)2=19(16+1-4)=133．
(Ⅱ)AE→=AB→+BE→=a→+λ(b→-a→)=(1﹣λ)a→+λb→，
同理可得，AF→=AB→+BF→=a→+μ(b→-a→)=(1﹣λ)a→+μb→，
AE→⋅AF→=[(1﹣λ)a→+λb→][(1﹣λ)a→+μb→]＝4(1﹣λ)(1﹣μ)+λμ﹣[(1﹣λμ)+(1﹣μ)λ]＝4+7λμ﹣5(λ+μ)，
∴4+7λμ﹣5(λ+μ)＝4，7λμ﹣5(λ+μ)＝0，
同除以λμ可得，1λ+1μ=75．
附：分层训练答案
基础组
一、选择题(共8小题)
1．D；2．D；3．B；4．C；5．C；6．A；7．A；8．C．
二、填空题(共4小题)
9．10；10．2；11．94；12．4．
三、解答题(共2小题)
13．(1)AD→=13a→+23b→，BD→=23(b→-a→)；(2)229．
14．(1)DE→=23a→-b→，AF→=a→+34b→；(2)x=23，y=49．
提高组
一、选择题(共8小题)
1．B；2．A；3．B；4．B；5．A；6．B；7．D；8．C．
二、填空题(共4小题)
9．-4；10．13，9；11．12；12．3-1．
三、解答题(共2小题)
13．(1)6；(2)-5217．
14．(1)133；(2)75．