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第04讲 向量综合(分层训练)-2022年春季高一数学辅导讲义（苏教版2019必修第二册）
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这是一份第04讲 向量综合(分层训练)-2022年春季高一数学辅导讲义（苏教版2019必修第二册），文件包含第04讲向量综合分层训练解析版docx、第04讲向量综合分层训练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
基础组
一、选择题(共8小题)
1．(2020秋•惠农区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m→=22，-22，n→=sinx，csx，x∈0，π，若m→∥n→，则tanx的值( )
A．4；B．3；C．﹣1；D．0
【答案】C．
【解析】m→∥n→，∴22csx+22sinx＝0，∴csx＝﹣sinx，∴tanx=sinxcsx=-1．
2．(2020秋•武陵区校级月考)向量a→=13，1，b→=csα，sinα，α为第三象限角，且a→∥b→，则cs2021π2+α=( )
A．-1010；B．1010；C．-31010；D．31010
【答案】D．
【解析】∵向量a→=(13，1)，b→=(csα，sinα)，α为第三象限角，且a→∥b→，
∴13csα=1sinα，∴csα=13sinα，∴cs2α+sin2α=109sin2α=1，解得sinα=-310，
∴cs(2021π2+α)=cs(π2+α)＝﹣sinα=310=31010．
3．(2020春•九龙坡区期末)已知向量a→=(2，1)，b→=(2csα，sinα)且α∈(0，π)，若a→∥b→，则α＝( )
A．π4；B．3π4；C．π3；D．2π3
【答案】A．
【解析】a→∥b→，∴2sinα﹣2csα＝0，∴tanα＝1，∵α∈0，π，∴α=π4．
4．(2020•德阳模拟)平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，点E、F分别满足AE→=2ED→，DF→=FC→，且AF→⋅BE→=-6．则向量AD→在AB→上的投影为( )
A．2；B．﹣2；C．32；D．-32
【答案】C．
【解析】如图，AE＝2，DE＝1，DF＝FC＝2．
∵AF→⋅BE→=-6=(AD→+DF→)•(BA→+AE→)＝(AD→+12AB→)•(-AB→+23AD→)=23AD→2-23AB→•AD→-12AB→2
=23×32-23×3×4×cs∠DAB-12×42．∴cs∠DAB=12．AD→在AB→上的投影为|AD→|cs∠DAB＝3×12=32．
5．(2020•桃城区校级模拟)已知在△ABC中，AB＝AC＝2，AB→⋅CA→=-2，点P满足CP→=13CB→+12CA→，则PA→⋅PB→=( )
A．-89；B．89；C．-23；D．23
【答案】A．
【解析】AB→⋅CA→=-2，得csA=12，∵A∈0，π，∴A=π3，∴△ABC为等边三角形．
以AC的中点O为坐标原点，以OA，OB分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B(0，3)，C(﹣1，0)，∴CB→=(1，3)，CA→=(2，0)．
∵CP→=13CB→+12CA→，∴CP→=13(1，3)+12(2，0)＝(43，33)，
∵C(﹣1，0)，∴点P的坐标为(13，33)，∴PA→⋅PB→=(23，-33)•(-13，233)=-29-23=-89．
6．(2020秋•安徽月考)若点M是△ABC所在平面内的一点，满足AM→=34AB→+14AC→，则|MB→MC→|＝( )
A．14；B．4；C．13；D．3
【答案】C．
【解析】∵AM→=34AB→+14AC→=34(AM→+MB→)+14(AM→+MC→)
=34AM→+34MB→+14AM→+14MC→=AM→+(34MB→+14MC→)，
∴34MB→+14MC→=0→，得|MB→MC→|=|MB|→|MC→|=13．
7．(2020秋•香坊区校级月考)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若AB→=mAM→，AN→=nAD→(m＞0，n＞0)，则1m+n的最小值为( )
A．22；B．1；C．22；D．2
【答案】D．
【解析】因为AO→=12AB→+12AD→，又AB→=mAM→，AN→=nAD→，所以AO→=m2AM→+12nAN→，
又O，M，N三点共线，故可得：m2+12n=1，即m+1n=2，则n=12-m，
所以1m+n=1m+12-m=2-m2+2m=2-(m-1)2+1，因为m＞0，所以当m＝1时，(1m+n)min＝2．
8．(2020秋•赣州期中)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E，F分别在边BC，DC上，BE→=λBC→，DF→=μDC→．若AE→⋅AF→=92，CE→⋅CF→=1，则λ+μ＝( )
A．712；B．2；C．29；D．56
【答案】A．
【解析】由已知条件得：|AB→|=|AD→|=2，＜AB→，AD→＞=60°，且AB→⋅AD→=2×2×cs60°=2．
因为点E，F分别在边BC，DC上，BE→=λBC→，DF→=μDC→，
所以由AE→⋅AF→=92，CE→⋅CF→=1得：(AB→+BE→)⋅(AD→+DF→)=(AB→+λAD→)⋅(AD→+μAB→)=92，
整理得：(1+λμ)AB→⋅AD→+μAB→2+λAD→2=92，即2(λ+μ)+λμ=54⋯⋯①，
且CE→⋅CF→=EC→⋅FC→=(1-λ)AD→⋅(1-μ)AB→=1，即1-(λ+μ)+λμ=12⋯⋯②，
联立①②解得λ+μ=712．
二、多选题(共4小题)
9．(2020秋•秦淮区校级月考)如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则( )
A．CE→=13AD→+AC→；B．CE→=13AD→-AC→；C．CE→=29AB→+89AC→；D．CE→=29AB→-89AC→
【答案】BD．
【解析】因为CE→=CA→+AE→，AE→=13AD→，AD→=AB→+BD→，BD→=12BC→，BC→=BA→+AC→，
所以CE→=13AD→-AC→，BD→=13(BA→+AC→)，所以AD→=AB→+BD→=AB→+13BA→+13AC→，
所以AE→=13(AB→+13BA→+13AC→)，所以CE→=CA→+13AB→+19BA→+19AC→=29AB→-89AC→．
10．(2020秋•北碚区校级月考)如图，平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=π3，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是( )
A．BF→在AB→方向上的投影为0；B．AF→=13AB→+23AD→；
C．AF→⋅AB→=1；D．若α=12∠FAB，则tanα=33
【答案】ABC．
【解析】平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=π3，所以AB⊥BD，
E为CD的中点，AE与DB交于F，所以BF→在AB→方向上的投影为0，所以A正确；
AF→=23AE→，AE→=12AB→+AD→，∴AF→=13AB→+23AD→．所以B正确；
AF→⋅AB→=(13AB→+23AD→)⋅AB→=13AB→2+23AD→⋅AB→=13×12+23×1×2×12=1，所以C正确；
若α=12∠FAB≠π6，则tanα≠33，所以D不正确．
11．(2020秋•鼓楼区校级期中)已知平面向量OA→、OB→、OC→为三个单位向量，且OA→⋅OB→=0，若OC→=xOA→+yOB→(x，y∈R)，则x+y的可能取值为( )
A．0；B．1；C．2；D．2
【答案】ABC．
【解析】∵|OA→|=|OB→|=|OC→|=1，OA→⋅OB→=0，∴OA→⊥OB→，设OA→=(1，0)，OB→=(0，1)，
∴OC→=(x，y)，x2+y2＝1，设x＝csθ，y＝sinθ，则x+y＝csθ+sinθ=2sin(θ+π4)，
∴-2≤x+y≤2，∴x+y的可能取值为0，1，2．
12．(2020秋•福州期中)已知A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，如下四个结论正确的是( )
A．AB→⊥AC→；B．四边形ABCD为平行四边形；C．AC→与BD→夹角的余弦值为729145；D．|AB→+AC→|=85
【答案】BD．
【解析】∵已知A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，
∴AB→=( 2，﹣3)，AC→=(7，1)，DC→=(2，﹣3)，BD→=( 3，7)，
∴AB→•AC→=2×7﹣3×1＝11≠0，故A错误；
由AB→=DC→，可得四边形ABCD为平行四边形，故B正确；
cs＜AC→，BD→＞=AC→⋅BD→|AC→|⋅|BD→|=3×7+1×749+1⋅9+49=281029=1429145，故C错误；
∵AB→+AC→=(9，﹣2)，∴|AB→+AC→|=81+4=85，故D正确．
三、填空题(共4小题)
13．(2017•河东区校级模拟)△ABC的外接圆圆心为P，若点P满足AP→=25(AB→+AC→)，则cs∠BAC＝______．
【答案】14
【解析】设BC边中点为M，则AB→+AC→=2AM→，由题设AP→=25(AB→+AC→)，∴5AP→=4AM→
∴A、P、M共线，且AP＝4PM，而∠BPM＝2∠BAM，∴∠BPM＝∠BAC，即cs∠BAC=PMPB=14．
14．(2021•浙江模拟)如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且AP→•AQ→=1，则|PQ→|的最大值是______．
【答案】23．
【解析】由题意AP→⋅AQ→=(OP→-OA→)•(OQ→-OA→)=OP→⋅OQ→-OA→⋅OQ→-OP→⋅OA→+1＝1，
所以OP→⋅OQ→-OA→⋅OQ→-OP→⋅OA→=0，
由(OP→+OQ→-OA→)2=OP→2+OQ→2+OA→2+2(OP→⋅OQ→-OA→⋅OQ→-OP→⋅OA→)＝9，
所以|OP→+OQ→-OA→|＝3，又|OP→+OQ→|﹣|OA→|≤|OP→+OQ→-OA→|≤|OP→+OQ→|+|OA→|，
所以2≤|OP→+OQ→|≤4，又|OP→+OQ→|2+|OP→-OQ→|2＝2(|OP→|2+|OQ→|2)＝16，
所以0≤|OP→-OQ→|≤23，即0≤|PQ→|≤23，|PQ→|的最大值是23．
15．(2021•浙江模拟)已知O为△ABC的外接圆圆心，且AO→•AB→=2AO→•AC→，则|AB→||AC→|的值为______．
【答案】2．
【解析】如图所示，AO→⋅AB→=|AO→||AB→|cs∠BAO，AO→⋅AC→=|AO→||AC→|cs∠CAO，
由O为△ABC的外心，得向量AO→在AB→上的投影12|AB→|，AO→在AC→上的投影为12|AC→|，
即|AO→|cs∠BAO=12|AB→|，|AO→|cs∠CAO=12|AC→|，从而12|AB→|2＝2×12|AC→|2，
所以|AB→|=2|AC→|，因此|AB→||AC→|=2．
16．(2020秋•松江区期末)已知向量|a→|＝|b→|＝|c→|＝1，若a→•b→=12，且c→=xa→+yb→，则x+y的最大值为______．
【答案】233．
【解析】∵|a→|＝|b→|，且a→•b→=12，∴a→与b→的夹角为60°，设a→=(1，0)，则b→=(12，32)，
∵c→=xa→+yb→，∴c→=(x+12y，32y)，又|c→|＝1，∴(x+12y)2+(32y)2＝1，化简得x2+xy+y2＝1，
∴(x+y)2﹣1＝xy≤(x+y)24，当且仅当x＝y=33时，等号成立，∴x+y≤233．
提高组
一、选择题(共8小题)
1．(2020•北海一模)已知向量a→=(1，8)，b→=(2x，4)，若a→∥b→，则x＝( )
A．﹣2；B．﹣1；C．1；D．2
【答案】B．
【解析】根据题意，向量a→=(1，8)，b→=(2x，4)，若a→∥b→，则有8×2x＝4，即2x=12，解得x＝﹣1．
2．(2020春•金华期中)已知向量a→=(3csθ，3sinθ)，b→=(0，-3)，θ∈(π2，π)，则向量a→、b→的夹角为( )
A．3π2-θ；B．θ-π2；C．π2+θ；D．θ
【答案】A．
【解析】∵a→=(3csθ，3sinθ)，b→=(0，﹣3)，∴|a→|＝3，|b→|＝3，a→•b→=3csθ×0+3sinθ×(﹣3)＝﹣9sinθ，
设向量a→与b→夹角为α，则csα=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=-sinθ＝cs(3π2-θ)，
又∵θ∈(π2，π)，3π2-θ∈(π2，π)，且α∈[0，π]，∴α=3π2-θ．
3．(2020秋•市中区校级月考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，若对任意实数k，不等式|kAB→+tBC→|＞1恒成立，则实数t的取值范围是( )
A．-∞，-33∪33，+∞；B．-∞，-233∪233，+∞；C．233，+∞；D．33，+∞
【答案】B．
【解析】因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以AB→⋅BC→=cs120°=-12，
由|kAB→+tBC→|＞1两边平方得k2(AB→)2+2ktAB→⋅BC→+t2(BC→)2＞1，
即k2﹣kt+t2﹣1＞0，构造函数f(k)＝k2﹣tk+t2﹣1，由题意，△＝t2﹣4(t2﹣1)＜0，解得t＜-233或t＞233．
4．(2020春•焦作期中)已知△ABC内接于圆O，且线段AB的延长线与线段OC的延长线相交．设OC→=λOA→+μOB→，则λ+μ的取值范围是( )
A．(﹣1，1)；B．(﹣1，0)；C．(0，1)；D．(-12，12)
【答案】C．
【解析】设线段AB的延长线与线段OC的延长线相交于点D，则易知点D是圆O外一点，如图
设OD→=tOC→(t＞1)，由B，A，D三点共线且D在圆O外可得：AD→=kAB→(k＞1)，
又∵OD→=OA→+AD→，∴OD→=kOB→+(1-k)OA→，故tOC→=kOB→+(1-k)OA→(t＞1，k＞1)，
则OC→=ktOB→+1-ktOA→(k＞1，t＞1)．又∵OC→=λOA→+μOB→，∴λ=1-kt，μ=kt，
∴λ+μ=1t∈(0，1)．
5．(2020春•荆州期末)△ABC中，AD→=DC→，点M在BD上，且满足AM→=37AB→+tAC→，则实数t的值为( )
A．67；B．47；C．27；D．59
【答案】C．
【解析】如图，因为AD→=DC→，所以AD→=12AC→，则AM→=AD→+DM→=12AC→+DM→，
因为M在BD上，不妨设DM→=kDB→=k(AB→-AD→)＝k(AB→-12AC→)，
则AM→=12AC→+DM→=12AC→+k(AB→-12AC→)=12(1﹣k)AC→+kAB→，因为AM→=37AB→+tAC→，
所以k=3712(1-k)=t，解得t=27．
6．(2017•上海)如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则A1A3→⋅A1P→的取值范围为( )
A．[0，8+62]；B．[-22，8+62]；C．[-8-62，22]；D．[-8-62，8+62]
【答案】B．
【解析】由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，
且|A1A2→|=|A1A8→|=2，|A1A3→|=|A1A7→|=22+2，|A1A4→|=|A1A6→|=2+22，|A1A5→|=4+22．
再由正弦函数的单调性及值域可得，
当P与A8重合时，A1A3→⋅A1P→最小为2×22+2×cs112.5°=2×22+2×(-2-22)=-22．
结合选项可得A1A3→⋅A1P→的取值范围为[-22，8+62]．
7．(2020秋•昌江区校级期末)已知D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且满足AE→=34AC→，AF→=23AB→，AD→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)，DF→=μ(BD→sinB|BD→|+AD→csB|AD→|)(λ，μ∈R)DE→⋅DA→=DE→⋅DC→，则|EF→||BC→|=( )
A．12；B．23；C．32；D．22
【答案】D．
【解析】∵AD→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)，
∴AD→•BC→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)•BC→=λ(-|AB→|⋅|BC→|csB|AB→|csB+|AC→|⋅|BC→|csC|AC→|csC)＝λ(-|BC→|+|BC→|)＝0，
∴AD⊥BC．∵DE→⋅DA→=DE→⋅DC→，∴DE→•(DA→-DC→)=DE→•CA→=0，即DE⊥AC．
∵DF→=μ(BD→sinB|BD→|+AD→csB|AD→|)，∴DF→•BA→=μ(|BD→|⋅|BA→|csBsinB|BD→|+-|AD→|⋅|BA→|sinBcsB|AD→|)＝0，∴DF⊥AB．
如图所示，连接EF，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴A、E、D、F四点共圆，∴∠AEF＝∠ADF，
∵AD⊥BC，∴∠B＝∠ADF，∴∠B＝∠AEF，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AEAB=AFAC，
∵AE→=34AC→，AF→=23AB→，∴34ACAB=23ABAC，即AC=223AB，∴EFBC=AEAB=34×223ABAB=22，即|EF→||BC→|=22．
8．(2019秋•鼓楼区校级期末)在正△ABC内有一点M，满足等式CM→=mCA→+nCB→，∠MCA＝45°，则mn=( )
A．3-12；B．2-22；C．6-22；D．3-1
【答案】A．
【解析】如图，过M作DM∥BC交AC于点D，作EM∥AC交BC于点E，
则CM→=CD→+CE→=CDACCA→+CECBCB→．因为CM→=mCA→+nCB→，由向量的基本定理可得m=CDAC，n=ECCB，
因为△ABC为正三角形，所以AC＝BC，所以mn=CDCE．在△CDM中，∠MCD＝45°，∠CMD＝15°，
所以CDCE=CDCM=sin15°sin45°=6-2422=3-12．
二、多选题(共3小题)
9．(2020秋•兴宁市校级期末)已知向量a→=(sinα，csα)，b→=(1，2)，则下列命题正确的是( )
A．若a→∥b→，则tanα=12；B．若a→⊥b→，则tanα=12；
C．若f(α)=a→⋅b→取得最大值时，则tanα=12；D．|a→-b→|的最大值为5+1
【答案】ACD．
【解析】a→∥b→，则2sinα﹣csα＝0，∴tanα=12，即命题A正确；
若a→⊥b→，则a→⋅b→=sinα+2csα=0，∴tanα＝﹣2，即命题B错误；
若f(α)=a→⋅b→=sinα+2csα=5sin(α+β)，(其中tanβ＝2)取得最大值，则α+β=π2，
∴α=π2-β，tanα=ctβ=12，即命题C正确；
a→-b→=(sinα-1，csα-2)，
∴|a→-b→|=(sinα-1)2+(csα-2)2=6-2(sinα+2csα)=6-25sin(α+γ)，
其中tanγ＝2，∴sin(α+γ)＝﹣1时，|a→-b→|取得最大值6+25=5+1，即命题D正确．
10．(2020秋•菏泽期中)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且AE→=EB→，AD→=2DC→，BD与CE交于点O，则( )
A．OC→+EO→=0→；B．AB→⋅CE→=0；C．|OA→+OB→+OC→+OD→|=3；D．ED→在BC→方向上的投影为76
【答案】BD．
【解析】以AB的中点E为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示：
则由|AB|＝2可得A(﹣1，0)，B(1，0)，C(0，3)，E(0，0)，D(-13，233)，
设O(0，y)，则y∈(0，3)，因为B，O，D三点共线，则BO→∥DO→，
又BO→=(-1，y)，DO→=(13，y-233)，所以13y=-1×(y-233)，
解得y=32，即O是CE的中点，所以OC→=EO→，A错误，
在等边三角形ABC中，因为点E是AB的中点，所以CE⊥AB，则AB→⋅CE→=0，B正确，
因为OA→+OB→+OC→+OD→=(﹣1，-32)+(1，-32)+(0，3-32)+(-13，233-32)＝(-13，-33)，
所以|OA→+OB→+OC→+OD→|＝|(-13，-33)|=(-13)2+(-33)2=23，C错误，
因为ED→=(-13，233)，BC→=(-1，3)，所以ED→在BC→方向上的投影为ED→⋅BC→|BC→|=13+22=76，D正确．
11．(2020秋•河北月考)已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(PA→+PB→)⋅(PC→+PD→)( )
A．最小值为﹣4；B．最大值为﹣4；C．无最小值；D．无最大值
【答案】AD．
【解析】建立如图所示的直角坐标系
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)．
设P(x，y)，则PA→=(-x，-y)，PB→=(2-x，-y)，PC→=(2-x，2-y)，PD→=(-x，2-y)，
所以(PA→+PB→)⋅(PC→+PD→)=(2-2x，-2y)⋅(2-2x，4-2y)=(2-2x)2+(2y-2)2-4，
所以当x＝1，y＝1时，(PA→+PB→)⋅(PC→+PD→)取得最小值﹣4，无最大值．
三、填空题(共5小题)
12．(2020•上海)已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足AnAn+1→⋅An+1An+2→=0(n＝1，2，3)，|AnAn+1→|•|An+1An+2→|＝n+1(n＝1，2，3)，则|A1A5→|的最小值为______．
【答案】63．
【解析】设|A1A2→|=x，则|A2A3→|=2x，|A3A4→|=3x2，|A4A5→|=83x，设A1(0，0)，如图，
∵求|A1A5→|的最小值，则：A2(x，0)，A3(x，2x)，A4(-x2，2x)，A5(-x2，-23x)，
∴|A1A5→|2=(-x2)2+(-23x)2=x24+49x2≥23，当且仅当x24=49x2，即x=233时取等号，
∴|A1A5→|的最小值为63．
13．(2019•天津)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→•AE→=______．
【答案】﹣1．
【解析】∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，
又AB＝23，∴AE＝2，∴BE→=-25AD→，∵AE→=AB→+BE→，∴AE→=AB→-25AD→
又BD→=BA→+AD→=-AB→+AD→，
∴BD→•AE→=-AB→+AD→⋅AB→-25AD→=-AB→2+75AB→⋅AD→-25AD→2
=-AB→2+75|AB|→⋅|AD|→csA-25AD→2＝﹣12+75×5×23×32-25×25＝﹣1．
14．(2020秋•普陀区期末)如图所示，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠ABC=π2，AB＝AD＝1，BC＝2，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则AQ→⋅CP→的最大值为______．
【答案】-2．
【解析】如图所示，建立直角坐标系．B(0，0)，C(2，0)，A(0，1)，D(1，1)，M(12，12).
设P(0，m)，m∈[0，1]．设CQ→=kCD→，则BQ→=BC→+kCD→=(2，0)+k(﹣1，1)＝(2﹣k，k)，k∈[0，1]．
∵P、M、Q三点共线，∴可以设BM→=λBQ→+(1﹣λ)BP→=(2λ﹣λk，λk+m﹣λm)＝(12，12)，
∴2λ﹣λk=12，λk+m﹣λm=12．消去λ可得：k=2-3m2m+2．
则AQ→⋅CP→=(2﹣k，k﹣1)•(﹣2，m)＝﹣4+2k+mk﹣m＝﹣4+(2+m)×2-3m2m+2-m=52[1m+1-(m+1)]﹣2．
令f(m)=52[1m+1-(m+1)]﹣2．m∈[0，1]．则f(m)在m∈[0，1]上单调递减，
因此m＝0时，f(m)取得最大值f(0)＝﹣2．
15．(2020·盐城三模)在锐角△ABC中，已知AH是BC边上的高，且满AH→=13AB→+23AC→，则ACAB的取值范围是______．
【答案】22，1．
【解析】AH→=13AB→+23AC→，∴H分BC为BHCH=2．如图，建系，设A0，h，Cm，0，B-2m，0，
m，h>0．则ACAB=m2+h24m2+h2=1+hm24+hm2=1-34+hm2．
依题意，AB→·AC→=h2-2m2>0，∴hm2>2，∴ACAB∈22，1．
16．(2020·泰州模拟)在锐角△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，若AB→=3AD→，AC→=λAF→，且BC→·ED→=2EF→·ED→=6，ED→=1，则实数λ的值为______．
【答案】.3．
【解析】如图，建系．依题意，xF=3，xC-xB=6，1-xB=2xA-1，得
xC=6+xB，2xA=3-xB，∴xC+2xA=9=3xF，∴xF=13xC+23xA，
A，F，C共线，∴AFFC=12，∴λ=3．
附：分层训练答案
基础组
一、选择题(共8小题)
1．C；2．D；3．A；4．C；5．A；6．C；7．D；8．A．
二、填空题(共4小题)
9．BD；10．ABC；11．ABC；12．BD．
三、填空题(共4小题)
13．14；14．23；15．2；16．233．
提高组
一、选择题(共8小题)
1．B；2．A；3．B；4．C；5．C；6．B；7．D；8．A．
二、填空题(共3小题)
9．ACD；10．BD；11．AD．
三、填空题(共5小题)
12．63；13．﹣1；14．-2；15．22，1；16．3．
基础组
一、选择题(共8小题)
1．(2020秋•惠农区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m→=22，-22，n→=sinx，csx，x∈0，π，若m→∥n→，则tanx的值( )
A．4；B．3；C．﹣1；D．0
【答案】C．
【解析】m→∥n→，∴22csx+22sinx＝0，∴csx＝﹣sinx，∴tanx=sinxcsx=-1．
2．(2020秋•武陵区校级月考)向量a→=13，1，b→=csα，sinα，α为第三象限角，且a→∥b→，则cs2021π2+α=( )
A．-1010；B．1010；C．-31010；D．31010
【答案】D．
【解析】∵向量a→=(13，1)，b→=(csα，sinα)，α为第三象限角，且a→∥b→，
∴13csα=1sinα，∴csα=13sinα，∴cs2α+sin2α=109sin2α=1，解得sinα=-310，
∴cs(2021π2+α)=cs(π2+α)＝﹣sinα=310=31010．
3．(2020春•九龙坡区期末)已知向量a→=(2，1)，b→=(2csα，sinα)且α∈(0，π)，若a→∥b→，则α＝( )
A．π4；B．3π4；C．π3；D．2π3
【答案】A．
【解析】a→∥b→，∴2sinα﹣2csα＝0，∴tanα＝1，∵α∈0，π，∴α=π4．
4．(2020•德阳模拟)平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，点E、F分别满足AE→=2ED→，DF→=FC→，且AF→⋅BE→=-6．则向量AD→在AB→上的投影为( )
A．2；B．﹣2；C．32；D．-32
【答案】C．
【解析】如图，AE＝2，DE＝1，DF＝FC＝2．
∵AF→⋅BE→=-6=(AD→+DF→)•(BA→+AE→)＝(AD→+12AB→)•(-AB→+23AD→)=23AD→2-23AB→•AD→-12AB→2
=23×32-23×3×4×cs∠DAB-12×42．∴cs∠DAB=12．AD→在AB→上的投影为|AD→|cs∠DAB＝3×12=32．
5．(2020•桃城区校级模拟)已知在△ABC中，AB＝AC＝2，AB→⋅CA→=-2，点P满足CP→=13CB→+12CA→，则PA→⋅PB→=( )
A．-89；B．89；C．-23；D．23
【答案】A．
【解析】AB→⋅CA→=-2，得csA=12，∵A∈0，π，∴A=π3，∴△ABC为等边三角形．
以AC的中点O为坐标原点，以OA，OB分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B(0，3)，C(﹣1，0)，∴CB→=(1，3)，CA→=(2，0)．
∵CP→=13CB→+12CA→，∴CP→=13(1，3)+12(2，0)＝(43，33)，
∵C(﹣1，0)，∴点P的坐标为(13，33)，∴PA→⋅PB→=(23，-33)•(-13，233)=-29-23=-89．
6．(2020秋•安徽月考)若点M是△ABC所在平面内的一点，满足AM→=34AB→+14AC→，则|MB→MC→|＝( )
A．14；B．4；C．13；D．3
【答案】C．
【解析】∵AM→=34AB→+14AC→=34(AM→+MB→)+14(AM→+MC→)
=34AM→+34MB→+14AM→+14MC→=AM→+(34MB→+14MC→)，
∴34MB→+14MC→=0→，得|MB→MC→|=|MB|→|MC→|=13．
7．(2020秋•香坊区校级月考)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若AB→=mAM→，AN→=nAD→(m＞0，n＞0)，则1m+n的最小值为( )
A．22；B．1；C．22；D．2
【答案】D．
【解析】因为AO→=12AB→+12AD→，又AB→=mAM→，AN→=nAD→，所以AO→=m2AM→+12nAN→，
又O，M，N三点共线，故可得：m2+12n=1，即m+1n=2，则n=12-m，
所以1m+n=1m+12-m=2-m2+2m=2-(m-1)2+1，因为m＞0，所以当m＝1时，(1m+n)min＝2．
8．(2020秋•赣州期中)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E，F分别在边BC，DC上，BE→=λBC→，DF→=μDC→．若AE→⋅AF→=92，CE→⋅CF→=1，则λ+μ＝( )
A．712；B．2；C．29；D．56
【答案】A．
【解析】由已知条件得：|AB→|=|AD→|=2，＜AB→，AD→＞=60°，且AB→⋅AD→=2×2×cs60°=2．
因为点E，F分别在边BC，DC上，BE→=λBC→，DF→=μDC→，
所以由AE→⋅AF→=92，CE→⋅CF→=1得：(AB→+BE→)⋅(AD→+DF→)=(AB→+λAD→)⋅(AD→+μAB→)=92，
整理得：(1+λμ)AB→⋅AD→+μAB→2+λAD→2=92，即2(λ+μ)+λμ=54⋯⋯①，
且CE→⋅CF→=EC→⋅FC→=(1-λ)AD→⋅(1-μ)AB→=1，即1-(λ+μ)+λμ=12⋯⋯②，
联立①②解得λ+μ=712．
二、多选题(共4小题)
9．(2020秋•秦淮区校级月考)如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则( )
A．CE→=13AD→+AC→；B．CE→=13AD→-AC→；C．CE→=29AB→+89AC→；D．CE→=29AB→-89AC→
【答案】BD．
【解析】因为CE→=CA→+AE→，AE→=13AD→，AD→=AB→+BD→，BD→=12BC→，BC→=BA→+AC→，
所以CE→=13AD→-AC→，BD→=13(BA→+AC→)，所以AD→=AB→+BD→=AB→+13BA→+13AC→，
所以AE→=13(AB→+13BA→+13AC→)，所以CE→=CA→+13AB→+19BA→+19AC→=29AB→-89AC→．
10．(2020秋•北碚区校级月考)如图，平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=π3，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是( )
A．BF→在AB→方向上的投影为0；B．AF→=13AB→+23AD→；
C．AF→⋅AB→=1；D．若α=12∠FAB，则tanα=33
【答案】ABC．
【解析】平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=π3，所以AB⊥BD，
E为CD的中点，AE与DB交于F，所以BF→在AB→方向上的投影为0，所以A正确；
AF→=23AE→，AE→=12AB→+AD→，∴AF→=13AB→+23AD→．所以B正确；
AF→⋅AB→=(13AB→+23AD→)⋅AB→=13AB→2+23AD→⋅AB→=13×12+23×1×2×12=1，所以C正确；
若α=12∠FAB≠π6，则tanα≠33，所以D不正确．
11．(2020秋•鼓楼区校级期中)已知平面向量OA→、OB→、OC→为三个单位向量，且OA→⋅OB→=0，若OC→=xOA→+yOB→(x，y∈R)，则x+y的可能取值为( )
A．0；B．1；C．2；D．2
【答案】ABC．
【解析】∵|OA→|=|OB→|=|OC→|=1，OA→⋅OB→=0，∴OA→⊥OB→，设OA→=(1，0)，OB→=(0，1)，
∴OC→=(x，y)，x2+y2＝1，设x＝csθ，y＝sinθ，则x+y＝csθ+sinθ=2sin(θ+π4)，
∴-2≤x+y≤2，∴x+y的可能取值为0，1，2．
12．(2020秋•福州期中)已知A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，如下四个结论正确的是( )
A．AB→⊥AC→；B．四边形ABCD为平行四边形；C．AC→与BD→夹角的余弦值为729145；D．|AB→+AC→|=85
【答案】BD．
【解析】∵已知A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，
∴AB→=( 2，﹣3)，AC→=(7，1)，DC→=(2，﹣3)，BD→=( 3，7)，
∴AB→•AC→=2×7﹣3×1＝11≠0，故A错误；
由AB→=DC→，可得四边形ABCD为平行四边形，故B正确；
cs＜AC→，BD→＞=AC→⋅BD→|AC→|⋅|BD→|=3×7+1×749+1⋅9+49=281029=1429145，故C错误；
∵AB→+AC→=(9，﹣2)，∴|AB→+AC→|=81+4=85，故D正确．
三、填空题(共4小题)
13．(2017•河东区校级模拟)△ABC的外接圆圆心为P，若点P满足AP→=25(AB→+AC→)，则cs∠BAC＝______．
【答案】14
【解析】设BC边中点为M，则AB→+AC→=2AM→，由题设AP→=25(AB→+AC→)，∴5AP→=4AM→
∴A、P、M共线，且AP＝4PM，而∠BPM＝2∠BAM，∴∠BPM＝∠BAC，即cs∠BAC=PMPB=14．
14．(2021•浙江模拟)如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且AP→•AQ→=1，则|PQ→|的最大值是______．
【答案】23．
【解析】由题意AP→⋅AQ→=(OP→-OA→)•(OQ→-OA→)=OP→⋅OQ→-OA→⋅OQ→-OP→⋅OA→+1＝1，
所以OP→⋅OQ→-OA→⋅OQ→-OP→⋅OA→=0，
由(OP→+OQ→-OA→)2=OP→2+OQ→2+OA→2+2(OP→⋅OQ→-OA→⋅OQ→-OP→⋅OA→)＝9，
所以|OP→+OQ→-OA→|＝3，又|OP→+OQ→|﹣|OA→|≤|OP→+OQ→-OA→|≤|OP→+OQ→|+|OA→|，
所以2≤|OP→+OQ→|≤4，又|OP→+OQ→|2+|OP→-OQ→|2＝2(|OP→|2+|OQ→|2)＝16，
所以0≤|OP→-OQ→|≤23，即0≤|PQ→|≤23，|PQ→|的最大值是23．
15．(2021•浙江模拟)已知O为△ABC的外接圆圆心，且AO→•AB→=2AO→•AC→，则|AB→||AC→|的值为______．
【答案】2．
【解析】如图所示，AO→⋅AB→=|AO→||AB→|cs∠BAO，AO→⋅AC→=|AO→||AC→|cs∠CAO，
由O为△ABC的外心，得向量AO→在AB→上的投影12|AB→|，AO→在AC→上的投影为12|AC→|，
即|AO→|cs∠BAO=12|AB→|，|AO→|cs∠CAO=12|AC→|，从而12|AB→|2＝2×12|AC→|2，
所以|AB→|=2|AC→|，因此|AB→||AC→|=2．
16．(2020秋•松江区期末)已知向量|a→|＝|b→|＝|c→|＝1，若a→•b→=12，且c→=xa→+yb→，则x+y的最大值为______．
【答案】233．
【解析】∵|a→|＝|b→|，且a→•b→=12，∴a→与b→的夹角为60°，设a→=(1，0)，则b→=(12，32)，
∵c→=xa→+yb→，∴c→=(x+12y，32y)，又|c→|＝1，∴(x+12y)2+(32y)2＝1，化简得x2+xy+y2＝1，
∴(x+y)2﹣1＝xy≤(x+y)24，当且仅当x＝y=33时，等号成立，∴x+y≤233．
提高组
一、选择题(共8小题)
1．(2020•北海一模)已知向量a→=(1，8)，b→=(2x，4)，若a→∥b→，则x＝( )
A．﹣2；B．﹣1；C．1；D．2
【答案】B．
【解析】根据题意，向量a→=(1，8)，b→=(2x，4)，若a→∥b→，则有8×2x＝4，即2x=12，解得x＝﹣1．
2．(2020春•金华期中)已知向量a→=(3csθ，3sinθ)，b→=(0，-3)，θ∈(π2，π)，则向量a→、b→的夹角为( )
A．3π2-θ；B．θ-π2；C．π2+θ；D．θ
【答案】A．
【解析】∵a→=(3csθ，3sinθ)，b→=(0，﹣3)，∴|a→|＝3，|b→|＝3，a→•b→=3csθ×0+3sinθ×(﹣3)＝﹣9sinθ，
设向量a→与b→夹角为α，则csα=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=-sinθ＝cs(3π2-θ)，
又∵θ∈(π2，π)，3π2-θ∈(π2，π)，且α∈[0，π]，∴α=3π2-θ．
3．(2020秋•市中区校级月考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，若对任意实数k，不等式|kAB→+tBC→|＞1恒成立，则实数t的取值范围是( )
A．-∞，-33∪33，+∞；B．-∞，-233∪233，+∞；C．233，+∞；D．33，+∞
【答案】B．
【解析】因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以AB→⋅BC→=cs120°=-12，
由|kAB→+tBC→|＞1两边平方得k2(AB→)2+2ktAB→⋅BC→+t2(BC→)2＞1，
即k2﹣kt+t2﹣1＞0，构造函数f(k)＝k2﹣tk+t2﹣1，由题意，△＝t2﹣4(t2﹣1)＜0，解得t＜-233或t＞233．
4．(2020春•焦作期中)已知△ABC内接于圆O，且线段AB的延长线与线段OC的延长线相交．设OC→=λOA→+μOB→，则λ+μ的取值范围是( )
A．(﹣1，1)；B．(﹣1，0)；C．(0，1)；D．(-12，12)
【答案】C．
【解析】设线段AB的延长线与线段OC的延长线相交于点D，则易知点D是圆O外一点，如图
设OD→=tOC→(t＞1)，由B，A，D三点共线且D在圆O外可得：AD→=kAB→(k＞1)，
又∵OD→=OA→+AD→，∴OD→=kOB→+(1-k)OA→，故tOC→=kOB→+(1-k)OA→(t＞1，k＞1)，
则OC→=ktOB→+1-ktOA→(k＞1，t＞1)．又∵OC→=λOA→+μOB→，∴λ=1-kt，μ=kt，
∴λ+μ=1t∈(0，1)．
5．(2020春•荆州期末)△ABC中，AD→=DC→，点M在BD上，且满足AM→=37AB→+tAC→，则实数t的值为( )
A．67；B．47；C．27；D．59
【答案】C．
【解析】如图，因为AD→=DC→，所以AD→=12AC→，则AM→=AD→+DM→=12AC→+DM→，
因为M在BD上，不妨设DM→=kDB→=k(AB→-AD→)＝k(AB→-12AC→)，
则AM→=12AC→+DM→=12AC→+k(AB→-12AC→)=12(1﹣k)AC→+kAB→，因为AM→=37AB→+tAC→，
所以k=3712(1-k)=t，解得t=27．
6．(2017•上海)如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则A1A3→⋅A1P→的取值范围为( )
A．[0，8+62]；B．[-22，8+62]；C．[-8-62，22]；D．[-8-62，8+62]
【答案】B．
【解析】由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，
且|A1A2→|=|A1A8→|=2，|A1A3→|=|A1A7→|=22+2，|A1A4→|=|A1A6→|=2+22，|A1A5→|=4+22．
再由正弦函数的单调性及值域可得，
当P与A8重合时，A1A3→⋅A1P→最小为2×22+2×cs112.5°=2×22+2×(-2-22)=-22．
结合选项可得A1A3→⋅A1P→的取值范围为[-22，8+62]．
7．(2020秋•昌江区校级期末)已知D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且满足AE→=34AC→，AF→=23AB→，AD→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)，DF→=μ(BD→sinB|BD→|+AD→csB|AD→|)(λ，μ∈R)DE→⋅DA→=DE→⋅DC→，则|EF→||BC→|=( )
A．12；B．23；C．32；D．22
【答案】D．
【解析】∵AD→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)，
∴AD→•BC→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)•BC→=λ(-|AB→|⋅|BC→|csB|AB→|csB+|AC→|⋅|BC→|csC|AC→|csC)＝λ(-|BC→|+|BC→|)＝0，
∴AD⊥BC．∵DE→⋅DA→=DE→⋅DC→，∴DE→•(DA→-DC→)=DE→•CA→=0，即DE⊥AC．
∵DF→=μ(BD→sinB|BD→|+AD→csB|AD→|)，∴DF→•BA→=μ(|BD→|⋅|BA→|csBsinB|BD→|+-|AD→|⋅|BA→|sinBcsB|AD→|)＝0，∴DF⊥AB．
如图所示，连接EF，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴A、E、D、F四点共圆，∴∠AEF＝∠ADF，
∵AD⊥BC，∴∠B＝∠ADF，∴∠B＝∠AEF，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AEAB=AFAC，
∵AE→=34AC→，AF→=23AB→，∴34ACAB=23ABAC，即AC=223AB，∴EFBC=AEAB=34×223ABAB=22，即|EF→||BC→|=22．
8．(2019秋•鼓楼区校级期末)在正△ABC内有一点M，满足等式CM→=mCA→+nCB→，∠MCA＝45°，则mn=( )
A．3-12；B．2-22；C．6-22；D．3-1
【答案】A．
【解析】如图，过M作DM∥BC交AC于点D，作EM∥AC交BC于点E，
则CM→=CD→+CE→=CDACCA→+CECBCB→．因为CM→=mCA→+nCB→，由向量的基本定理可得m=CDAC，n=ECCB，
因为△ABC为正三角形，所以AC＝BC，所以mn=CDCE．在△CDM中，∠MCD＝45°，∠CMD＝15°，
所以CDCE=CDCM=sin15°sin45°=6-2422=3-12．
二、多选题(共3小题)
9．(2020秋•兴宁市校级期末)已知向量a→=(sinα，csα)，b→=(1，2)，则下列命题正确的是( )
A．若a→∥b→，则tanα=12；B．若a→⊥b→，则tanα=12；
C．若f(α)=a→⋅b→取得最大值时，则tanα=12；D．|a→-b→|的最大值为5+1
【答案】ACD．
【解析】a→∥b→，则2sinα﹣csα＝0，∴tanα=12，即命题A正确；
若a→⊥b→，则a→⋅b→=sinα+2csα=0，∴tanα＝﹣2，即命题B错误；
若f(α)=a→⋅b→=sinα+2csα=5sin(α+β)，(其中tanβ＝2)取得最大值，则α+β=π2，
∴α=π2-β，tanα=ctβ=12，即命题C正确；
a→-b→=(sinα-1，csα-2)，
∴|a→-b→|=(sinα-1)2+(csα-2)2=6-2(sinα+2csα)=6-25sin(α+γ)，
其中tanγ＝2，∴sin(α+γ)＝﹣1时，|a→-b→|取得最大值6+25=5+1，即命题D正确．
10．(2020秋•菏泽期中)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且AE→=EB→，AD→=2DC→，BD与CE交于点O，则( )
A．OC→+EO→=0→；B．AB→⋅CE→=0；C．|OA→+OB→+OC→+OD→|=3；D．ED→在BC→方向上的投影为76
【答案】BD．
【解析】以AB的中点E为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示：
则由|AB|＝2可得A(﹣1，0)，B(1，0)，C(0，3)，E(0，0)，D(-13，233)，
设O(0，y)，则y∈(0，3)，因为B，O，D三点共线，则BO→∥DO→，
又BO→=(-1，y)，DO→=(13，y-233)，所以13y=-1×(y-233)，
解得y=32，即O是CE的中点，所以OC→=EO→，A错误，
在等边三角形ABC中，因为点E是AB的中点，所以CE⊥AB，则AB→⋅CE→=0，B正确，
因为OA→+OB→+OC→+OD→=(﹣1，-32)+(1，-32)+(0，3-32)+(-13，233-32)＝(-13，-33)，
所以|OA→+OB→+OC→+OD→|＝|(-13，-33)|=(-13)2+(-33)2=23，C错误，
因为ED→=(-13，233)，BC→=(-1，3)，所以ED→在BC→方向上的投影为ED→⋅BC→|BC→|=13+22=76，D正确．
11．(2020秋•河北月考)已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(PA→+PB→)⋅(PC→+PD→)( )
A．最小值为﹣4；B．最大值为﹣4；C．无最小值；D．无最大值
【答案】AD．
【解析】建立如图所示的直角坐标系
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)．
设P(x，y)，则PA→=(-x，-y)，PB→=(2-x，-y)，PC→=(2-x，2-y)，PD→=(-x，2-y)，
所以(PA→+PB→)⋅(PC→+PD→)=(2-2x，-2y)⋅(2-2x，4-2y)=(2-2x)2+(2y-2)2-4，
所以当x＝1，y＝1时，(PA→+PB→)⋅(PC→+PD→)取得最小值﹣4，无最大值．
三、填空题(共5小题)
12．(2020•上海)已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足AnAn+1→⋅An+1An+2→=0(n＝1，2，3)，|AnAn+1→|•|An+1An+2→|＝n+1(n＝1，2，3)，则|A1A5→|的最小值为______．
【答案】63．
【解析】设|A1A2→|=x，则|A2A3→|=2x，|A3A4→|=3x2，|A4A5→|=83x，设A1(0，0)，如图，
∵求|A1A5→|的最小值，则：A2(x，0)，A3(x，2x)，A4(-x2，2x)，A5(-x2，-23x)，
∴|A1A5→|2=(-x2)2+(-23x)2=x24+49x2≥23，当且仅当x24=49x2，即x=233时取等号，
∴|A1A5→|的最小值为63．
13．(2019•天津)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→•AE→=______．
【答案】﹣1．
【解析】∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，
又AB＝23，∴AE＝2，∴BE→=-25AD→，∵AE→=AB→+BE→，∴AE→=AB→-25AD→
又BD→=BA→+AD→=-AB→+AD→，
∴BD→•AE→=-AB→+AD→⋅AB→-25AD→=-AB→2+75AB→⋅AD→-25AD→2
=-AB→2+75|AB|→⋅|AD|→csA-25AD→2＝﹣12+75×5×23×32-25×25＝﹣1．
14．(2020秋•普陀区期末)如图所示，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠ABC=π2，AB＝AD＝1，BC＝2，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则AQ→⋅CP→的最大值为______．
【答案】-2．
【解析】如图所示，建立直角坐标系．B(0，0)，C(2，0)，A(0，1)，D(1，1)，M(12，12).
设P(0，m)，m∈[0，1]．设CQ→=kCD→，则BQ→=BC→+kCD→=(2，0)+k(﹣1，1)＝(2﹣k，k)，k∈[0，1]．
∵P、M、Q三点共线，∴可以设BM→=λBQ→+(1﹣λ)BP→=(2λ﹣λk，λk+m﹣λm)＝(12，12)，
∴2λ﹣λk=12，λk+m﹣λm=12．消去λ可得：k=2-3m2m+2．
则AQ→⋅CP→=(2﹣k，k﹣1)•(﹣2，m)＝﹣4+2k+mk﹣m＝﹣4+(2+m)×2-3m2m+2-m=52[1m+1-(m+1)]﹣2．
令f(m)=52[1m+1-(m+1)]﹣2．m∈[0，1]．则f(m)在m∈[0，1]上单调递减，
因此m＝0时，f(m)取得最大值f(0)＝﹣2．
15．(2020·盐城三模)在锐角△ABC中，已知AH是BC边上的高，且满AH→=13AB→+23AC→，则ACAB的取值范围是______．
【答案】22，1．
【解析】AH→=13AB→+23AC→，∴H分BC为BHCH=2．如图，建系，设A0，h，Cm，0，B-2m，0，
m，h>0．则ACAB=m2+h24m2+h2=1+hm24+hm2=1-34+hm2．
依题意，AB→·AC→=h2-2m2>0，∴hm2>2，∴ACAB∈22，1．
16．(2020·泰州模拟)在锐角△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，若AB→=3AD→，AC→=λAF→，且BC→·ED→=2EF→·ED→=6，ED→=1，则实数λ的值为______．
【答案】.3．
【解析】如图，建系．依题意，xF=3，xC-xB=6，1-xB=2xA-1，得
xC=6+xB，2xA=3-xB，∴xC+2xA=9=3xF，∴xF=13xC+23xA，
A，F，C共线，∴AFFC=12，∴λ=3．
附：分层训练答案
基础组
一、选择题(共8小题)
1．C；2．D；3．A；4．C；5．A；6．C；7．D；8．A．
二、填空题(共4小题)
9．BD；10．ABC；11．ABC；12．BD．
三、填空题(共4小题)
13．14；14．23；15．2；16．233．
提高组
一、选择题(共8小题)
1．B；2．A；3．B；4．C；5．C；6．B；7．D；8．A．
二、填空题(共3小题)
9．ACD；10．BD；11．AD．
三、填空题(共5小题)
12．63；13．﹣1；14．-2；15．22，1；16．3．
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