专题07 数列的构成规律探索-备战2022高考数学冲破压轴题讲与练

专题07  数列的构成规律探索

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，探求数列的构成规律，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

1.(1)已知an与an＋1的关系式求通项an时，常有以下类型：①形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累加法；②形如an＋1＝an·f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累乘法；③形如an＋1＝pan＋q(p，q均为常数且p≠1，q≠0)解决方法是将其构造成一个新的等比数列；④形如an＋1＝pan＋qn(p，q均为常数，pq(p－1)≠0)解决方法是在递推公式两边同除以qn＋1.

(2)给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

2.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法

(1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；

(2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．

3.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法

(1)利用定义，证明为一常数；

(2)利用等比中项，即证明＝an－1an＋1(n≥2)．

【压轴典例】

例1.(2020·全国卷Ⅱ理科·T12)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是              (　　)

A.11010… B.11011… C.10001… D.11001…

例2.(2020·北京高考·T21)已知{an}是无穷数列,给出两个性质:

①对于{an}中任意两项ai,aj(i>j),在{an}中都存在一项am,使得=am;

②对于{an}中任意项an(n≥3),在{an}中都存在两项ak,al(k>l),使得an=.

(1)若an=n(n=1,2,…),判断数列{an}是否满足性质①,说明理由;

(2)若an=2n-1(n=1,2,…),判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②,说明理由;

(3)若{an}是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:{an}为等比数列.

例3．（2021·江苏高三月考）雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）若按照上述规律，一个边长为的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是（    ）

A． B． C． D．

例4．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知，，…，为1，2，3，4，5的任意一个排列.则满足：对于任意，都有的排列，，…，有（     ）

A．49个 B．50个 C．31个 D．72个

例5．（2021·浙江绍兴市·绍兴一中高三期末）已知数列与满足，，，且，下列正确的是（    ）

A． B．

C．是等差数列 D．是等比数列

例6．（2021·山西太原市·高三期末）意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列满足，.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列，则的前2021项和为（    ）

A．2014 B．2022 C．2265 D．2274

例7．（2021·北京昌平区·高三期末）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5

例8.（河北省衡水市第二中学2020高三）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（   ）

4,

4,43

4,43,4

4,43,4 , 4

…

A． B．

C． D．

例9．（2021·北京高三期末）数列中，给定正整数，.定义:数列满足，称数列的前项单调不增.

（Ⅰ）若数列通项公式为：，求；

（Ⅱ）若数列满足：，求证的充分必要条件是数列的前项单调不增；

（Ⅲ）给定正整数，若数列满足：，且数列的前项和为，求的最大值与最小值.(写出答案即可)

例10．（2021·北京丰台区·高三期末）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令．

（1）若，写出，，的值．

（2）证明：．

（3）若是等比数列，证明：存在正整数，当时，，，是等比数列．

【压轴训练】

1．（2021·浙江绍兴市·高三期末）设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国高三专题练习）已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（    ）

A．                         B．

C．数列的最小项为和         D．数列的最大项为和

3．（2021·全国高三其他模拟）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（    ）

A． B．

C． D．

4．（2021·全国高三其他模拟）“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，农历1863年为癸亥年，则农历2068年为（    ）

A．丁亥年 B．丁丑年 C．戊寅年 D．戊子年

5．（2021·广东梅州市·高三一模）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则等于（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·山东潍坊市·高三一模）（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·江苏常州市·高三开学考试）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

8．（2021·江苏徐州市·徐州一中高三期末）（多选）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为，其前n项和为，则（    ）

A． B．

C． D．

9．（2021·湖北高三期末）（多选）已知数列的首项且满足，其中，则下列说法中正确的是（    ）

A．当时，有恒成立       B．当时，有恒成立

C．当时，有恒成立  D．当时，有恒成立

10．（2021·山东高三专题练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（    ）

A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是182

C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为

11．（2021·北京高三期末）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列.

（Ⅰ）数列为，数列为.判断数列，是否为数列， 并说明理由；

（Ⅱ）设数列是首项为的P数列，其前项和为（）.求证：当时，；

（Ⅲ）设无穷数列是首项为a（a>0），公比为q的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，.若.判断是否为数列，并说明理由.

11.（2020·江苏镇江高三）已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.

（1）若数列通项为，求证：；

（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；

（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.

12.（2020河南安阳高三）已知等比数列的首付，前项和满足.

（1）求实数的值及通项公式；

（2）设，求数列的前项为，并证明：.

13.（2019·湖南高考模拟）已知数列的首项，，且对任意的，都有，数列满足，.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.

14．（2019·山东日照一中高三）已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（n∈N*）

（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{nan}是等比数列，并求数列{an}的通项an；

（Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Tn；

（Ⅲ）对任意n∈N*，使得 恒成立，求实数λ的最小值．

15．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：.