专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练

专题12  圆锥曲线中的最值、范围问题

【压轴综述】

圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.

一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法

(1)两种类型

①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；

②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．

(2)两种解法

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；

②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．

二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.

【压轴典例】

例1.(2020·全国卷Ⅱ文科·T9)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为              (　　)

A.4  B.8  C.16  D.32

例2.(2020·全国卷Ⅱ理科·T8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为              (　　)

A.4      B.8      C.16     D.32

例3.（2020山东高考模拟）已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

例4.(2020·浙江高考·T21)如图,已知椭圆C1：+y2=1,抛物线C2：y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).

(Ⅰ)若p=,求抛物线C2的焦点坐标;

(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.

例5.(2020·江苏高考·T18)在平面直角坐标系xOy中,若椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.

(1)求△AF1F2的周长;

(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求·的最小值;

(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别是S1,S2,若S2=3S1,求M的坐标.

例6.（2019·浙江高考真题）如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.

（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.

例7.（2019·全国高考真题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.

例8. （2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q

（I）求直线AP斜率的取值范围；  （II）求的最大值

例9. （2017·山东高考真题）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.

例10.（2018·浙江高考真题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

【压轴训练】

1．（2021·盐城市伍佑中学高三期末）已知是圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线斜率的最大值为（  ）

A． B． C． D．

2．（2021·安徽高三开学考试）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线的离心率为，过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（    ）

A． B．，，

C． D．

4．（2020·安徽高三月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，为双曲线上一个动点，，为其左，右焦点，的最小值为，则此双曲线的焦距为（    ）.

A．2 B．4 C． D．

5．（2020·山东高三专题练习）在同一直角坐标系下，已知双曲线的离心率为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数的图象向右平移单位后得到曲线，点，分别在双曲线的下支和曲线上，则线段长度的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．1

6．（2021·福建漳州市·高三其他模拟）（多选）已知双曲线：的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线交于，两点，若点，则下列说法中正确的有（    ）

A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的实轴长为

C．点的横坐标的取值范围为 D．点的横坐标的取值范围为

7．（2020·浙江高三月考）已知是椭圆（）和双曲线（）的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为________．

8．（2020·河北高三月考）已知是离心率为2的双曲线右支上一点，则该双曲线的渐近线方程为_______，到直线的距离与到点的距离之和的最小值为_____.                                

9．（2021·安徽高三一模）已知动圆与轴相切且与圆相外切，圆心在轴的上方，点的轨迹为曲线.

（1）求的方程；

（2）已知，过点作直线交曲线于两点，分别以为切点作曲线的切线相交于，当的面积与的面积之比取最大值时，求直线的方程.

10．（2021·浙江绍兴市·高三）如图，过抛物线的焦点F作直线l交C于，两点，其中，设直线分别与抛物线相切于点A，B，交于点P.

（1）若，求切线的方程；

（2）过F作y轴的垂线交于点M，若有且仅有一条直线l使得，求t的取值范围.

11．（2021·辽宁丹东市·高三）已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点.

（1）求的方程；

（2）已知，点在上，关于轴、坐标原点的对称点分别为、，垂直于轴，垂足为，直线与轴、分别交于点、，直线交于点，直线的斜率为，直线的斜率.

①将表示为的函数；②求直线斜率的最小值.

12．（2021·南京市中华中学高三期末）已知离心率为的椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点关于轴的对称点为，过点斜率为，的两条动直线与椭圆的另一交点分别为、 (、皆异于点)．若，求的面积最大值．

13．（2021·长沙市·湖南师大附中高三）已知椭圆过点，且与曲线有共同的焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于两点，设，若，点，求的取值范围.

14．（2021·安徽高三期末）已知椭圆过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与圆相切，且与椭圆交于，两点，为椭圆上一个动点(点，分别位于直线两侧)，求四边形面积的最大值.

15．（2019·湖南长沙一中高三月考）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设

(1)若点的坐标为，求椭圆的方程;

(2)若，求椭圆的离心率的取值范围.