专题14 圆锥曲线中的探索性问题-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练

专题14  圆锥曲线中的探索性问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等.

1. 探究性问题求解的思路及策略

(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．

(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；

②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．

2.解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去.

（3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.

【压轴典例】

例1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

例2．（2021·江苏无锡市·高三）已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线l交x轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N．

（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标；

（2）若M是线段AN的中点，求直线的方程；

（3）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM于QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．

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例3．（2021·上海高三）如图，已知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.

（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；

（2）若，且，求实数的值；

（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.

例4．（2020湖北武汉高三）设为坐标原点，动点在椭圆:上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足.

(1)求点的轨迹方程；

(2)设，在x轴上是否存在一定点，使总成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

例5．（2020·河北邯郸高三）设椭圆的左顶点在抛物线的准线上，是椭圆的右焦点，且椭圆的焦距为2，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线和分别与直线交于点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

例6.（广东省华南师范大学附属中学高三）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．

例7．（2020·上海市南洋模范中学高三）已知椭圆的右焦点为F(1，0)，且点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；

（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆E过且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.

例8.（江西省新余市第四中学）已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴.

（1）求的方程；

（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.

例9.（2020·云南师大附中高三）已知椭圆的离心率为，短袖长为4.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）设直线l过点（2,0）且与椭圆C相交于不同的两点A、B，直线与x轴交于点D,E是直线上异于D的任意一点，当时，直线BE是否恒过x轴上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.

例10.（2020湖南衡阳市八中高三）已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线与直线的斜率分别记为，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设，的面积分别为，，判断是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．

【压轴训练】

1．（2020·海南高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，且，设是上一点，且，.

（1）求椭圆的方程；

（2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

2．（2020·全国高三专题练习）如图，为坐标原点，抛物线的焦点是椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，椭圆的长轴，离心率．

（1）求抛物线和椭圆的方程；

（2）过点作直线交于两点，射线，分别交于两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

3．（2020·江苏徐州市·高三）在①离心率为，且经过点(3，4)；②一条准线方程为x＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l存在，求出l的方程；若问题中的直线l不存在，说明理由．

问题：已知曲线C：mx2＋ny2＝1(m，n≠0)的焦点在x轴上，____________，是否存在过点P(－1，1)的直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点？

注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

4．（2020·湖南省汨罗市第二中学高三）已知点是椭圆的右焦点，点，分别是轴，轴上的动点，且满足.若点满足（为坐标原点）．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点任作一直线与点的轨迹交于，两点，直线，与直线分别交于点，，试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．

5．（2020·江苏省如皋中学高三）已知椭圆：.

（1）曲线：与相交于，两点，为上异于，的点，若直线的斜率为1，求直线的斜率；

（2）若的左焦点为，右顶点为，直线：.过的直线与相交于，（在第一象限）两点，与相交于，是否存在使的面积等于的面积与的面积之和.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

6.（2020江西省苏州高三）已知椭圆： 的离心率为，短轴为.点满足.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7．（2020·陕西咸阳市·高三二模）已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

8．（2020·辽宁朝阳市·高三月考）已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点，.过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆的标准方程

（2）若过点的直线与直线垂直，且交椭圆于两点.是否存在直线，使得四边形的面积最小？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

9．（2020·天津高三专题练习）已知椭圆过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其离心率；

（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），直线关于的对称直线与椭圆交于另一点．设为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

10．（2018届江西省重点中学协作体第二次联考）已知椭圆： 的离心率为，短轴为.点满足.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

11. (2018届山东省威海市二模)已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.

12．（2019·云南师大附中高三）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知不经过点P（0，2）的直线l：交椭圆C于A，B两点，M在AB上满足且，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由.

13.(2020河北省衡水中学高三)已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线经过点且与交于不同的两点，试问：在x轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，求出点的坐标及定值，若不存在，请说明理由.

14．(2020陕西省汉中市汉中中学)已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为．

（1）证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求的斜率；若不能，说明理由．

15．（2019·黑龙江高三）已知圆经过两点，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程；

（3）已知点，在平面内是否存在异于点的定点，对于圆上的任意动点，都有为定值?若存在求出定点的坐标，若不存在说明理由．