专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练

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专题15  圆锥曲线与其它知识的交汇问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解此类问题的方法规律.一、与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面：一是用向量的数量积解决有关角的问题；二是用向量的坐标表示解决共线问题．(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝求角．(2)当a，b不共线时，有〈a，b〉为：直角⇔a·b＝0；钝角⇔a·b<0(且a，b不反向)；锐角⇔a·b>0(且a，b不同向)．(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极（最）值等.【压轴典例】例1．（2020·上海高三专题练习）设，为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的值为(    )A． B． C． D．例2．（2020·江苏南京市·高三）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆Γ与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经过与Γ反射，又回到了点历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经Γ两次反射后又回到了点历时秒；若则Γ与的离心率之比为（    ）A． B．1：2 C．2：3 D．3：4例3.（2020浙江温州中学高三）设点是长方体的棱的中点，，，点在面上，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（    ）A.椭圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.一条线段 D.一段圆弧例4.（2020·广州市天河中学）(多选)已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（    ）参考数据（）A．椭圆的离心率B．双曲线的离心率C．椭圆上不存在点A使得D．双曲线上存在不同的四个点Bi(i=1,2,3,4),使得例5.（2020·四川石室中学高三）设双曲线的左，右顶点为是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为（    ）A. B. C. D.例6．（2020·全国高三专题练习）已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为，过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为_______．例7．（2020·上海浦东新区·高三）已知椭圆，、为的左、右焦点.（1）求椭圆的焦距；（2）点为椭圆一点，与平行的直线与椭圆交于两点A、B，若面积为，求直线的方程；（3）已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为，椭圆 和双曲线上满足的所有点组成曲线．若点是曲线上一动点，求的取值范围．例8．（2020·上海市七宝中学高三）已知双曲线过点，且右焦点为.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值.（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积；例9．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三）动点P在圆x2＋y2＝2上，过点P作y轴的垂线，垂足为H，点E满足，设点E的轨迹为曲线C1.（1）求C1的方程；（2）已知抛物线C2：x2＝4y的焦点F，设过点F的动直线l与曲线C2交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C2的两条切线l1，l2，设l1，l2相交于点G，直线FG交曲线C1于M，N两点.①求证：AB⊥MN；②求的最小值.例10．（2020·浙江省东阳中学高三）如图，为椭圆的下顶点，过点的直线交抛物线于两点，是的中点.（1） 求证:点的纵坐标是定值；（2）过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于两点.问：为何值时，的面积最大？并求面积的最大值.【压轴训练】1．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中）如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为，，M是它们的一个公共点，且，设它们的离心率分别为，，则（    ）A．1 B． C． D．2．（2020·全国高三专题练习）设、分别是抛物线的顶点和焦点，点在抛物线上，若，则(    )A．2 B．3 C．4 D．53．（2020·湖南长沙市·长郡中学高三）已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，其准线与双曲线交于点，点在轴上.若最大，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．4．（2020·浙江高三期中）已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（    ）A． B． C． D．5．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，且过双曲线的右焦点与x轴垂直的直线l与双曲线交于点A，B，的面积为，则双曲线的实轴的长为（    ）A． B． C． D．6．（2020·湖北高二月考）已知，是双曲线：的左、右焦点，点为双曲线上异于顶点的点，直线分别与以，为直径的圆相切于，两点，若直线与的夹角为，则______.7．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆（）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则=__________________.8．（2020·北京高三专题练习）在直角坐标系中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆 交轴上方于两点，有下列三个结论：① ；②存在最大值；③ ．则正确结论的序号为_______.9．（2020云南师大附中高三）边长为的正方体中，点为上底面的中心，为下底面内一点，且直线与底面所成线面角的正切值为，则点的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.10．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.11．（2020·山东淄博高三）已知抛物线的焦点为，准线为.若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为____.12．（2020·全国高三月考）设椭圆的左顶点在抛物线的准线上，是椭圆的右焦点，且椭圆的焦距为2，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线和分别与直线交于点，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．13．（2020·江苏南京市·高三）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点.①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；②若△OPQ的面积为求直线l的方程.14．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点，，是椭圆上的不同两点，且以为直径的圆经过原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆恒与直线相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由；（3）求的最小值.15．（2020·上海市南洋模范中学高三）已知椭圆的右焦点为F(1，0)，且点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆E过且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.